§ 2. Передача энергии гармоническому осциллятору

Как уже говорилось выше, по величине прицельного параметра все кулоновские соударения разделяются на два класса: соударения когда энергия передается квазисвободным электронам, и соударения с которые фактически представляют собой адиабатические соударения с незначительной передачей энергии.

Фиг. 13.3.

Постараемся теперь обосновать правильность выбора значения (13.9) для величины Рассмотрим задачу об энергетических потерях тяжелой частицы с зарядом и скоростью v, пролетающей вблизи частицы с массой и зарядом , удерживаемой квазиупругой силой (гармонический осциллятор). Эта задача является упрощенной моделью механизма потерь при прохождении частиц через вещество. Как и ранее, будем считать, что отклонения тяжелой частицы при соударениях малы и, таким образом, ее траекторию можно приближенно рассматривать как прямую линию.

Тяжелая частица проходит возле связанного заряда на «прицельном расстоянии» b, отсчитываемом от центра О удерживающей силы, как показано на фиг. 13.3. Так как нас прежде всего интересует случай больших прицельных параметров, когда существенны эффекты связи, можно предположить, что передача энергии невелика, движение связанной частицы на протяжении времени соударения нерелятивистское, а начальная и конечная амплитуды колебаний электрона вокруг центра О малы по сравнению с b.

При этих допущениях в уравнении движения связанной частицы необходимо учитывать лишь электрическое поле налетающей частицы. Кроме того, можно пренебречь зависимостью амплитуды поля от положения связанной частицы и принять в качестве эффективного значения его величину в точке О. Это приближение называют иногда дипольным по аналогии с соответствующей задачей о поглощении излучения.

При сделанных допущениях уравнение движения заряда, удерживаемого квазиупругой силой, можно написать в виде

    (13.15)

где — вектор напряженности электрического поля, создаваемого зарядом в точке О и имеющего составляющие (11.118), — характерная частота связи, Г — малая постоянная затухания. Наличие этого малого затухания в данном случае несущественно, но оно присуще в той или иной степени любой реальной физической системе и, кроме того, его учет позволяетустранить некоторые теоретические трудности, которые возникли бы без учета затухания. Для решения уравнения (13.15) представим в виде интегралов Фурье

    (13.16)

Так как действительны, то фурье-амплитуды этих величин при положительных и отрицательных частотах связаны соотношениями

Подставляя приведенные интегральные представления в уравнение движения, получаем

    (13.19)

Для известной функции легко найти фурье-амплитуду Зная можно с помощью соотношений (13.19) и (13.16) найти величину Задача решается до конца, если удается провести интегрирование по частотам.

Непосредственный интерес представляют не детальные характеристики движения связанной частицы, а величина энергии, передаваемой

при соударении. Для ее определения нужно вычислить работу, совершаемую налетающей частицей над связанным зарядом. Работа, совершаемая в единицу времени, равна

    (13.20)

Следовательно, полная работа, совершаемая частицей при пролете, определяется соотношением

    (13.21)

Плотность тока для связанного заряда равна Следовательно,

    (13.22)

где а Е в дипольном приближении совпадает с полем налетающей частицы в точке О. Используя фурье-представления (13.16) и (13.17), аналогичное представление для -функции (2.52) и условия вещественности (13.18), можно переписать выражение для передаваемой энергии следующим образом:

    (13.23)

Подставляя в эту формулу выражение (13.19) для получаем

При малых Г подынтегральное выражение имеет резкий максимум вблизи соответствующий приближенно лоренцовой форме линии. Поэтому множитель подынтегрального выражения, содержащий фурье-амплитуду электрического поля, можно приближенно заменить его значением при При этом (13.24) преобразуется к виду

    (13.25)

Интеграл в приведенном выражении не зависит от величины и равен . В результате для передаваемой энергии получаем

    (13.26)

Соотношение (13.26) выражает весьма общий результат, характеризующий передачу энергии внешнего электромагнитного поля нерелятивистскому осциллятору. В рассматриваемом нами случае поле создается пролетающей заряженной частицей. Однако в качестве внешнего поля можно представить и импульс излучения или любую другую комбинацию внешних полей.

Если частица с зарядом пролетает мимо центра О с прицельным параметром b и скоростью v, то возбуждаемое в точке О электромагнитное поле определяется соотношениями (11.118), причем . В качестве примера произведем фурье-преобразование (13.17) для составляющей Амплитуда Фурье этой величины определяется как

Производя замену переменной интегрирования , получаем

    (13.28)

Из таблиц фурье-преобразований находим, что интеграл в (13.28) пропорционален модифицированной функции Бесселя первого порядка [см. (3.101)]. Таким образом,

Аналогично в результате фурье-преобразования составляющей определяемой соотношениями (11.118), имеем

Теперь мы можем написать явное выражение для величины энергии (13.26), передаваемой гармоническому осциллятору. Согласно (13.29) и (13.30),

    (13.31)

где

Множитель перед квадратными скобками совпадает с полученным: ранее приближенным результатом (13.2). При малых или больших

?, как можно показать, используя приближенные выражения (3.103) или асимптотику (3.104), величина в квадратных скобках имеет следующие предельные значения:

Так как то очевидно, что при передаваемая энергия определяется приближенным результатом (13.2), тогда как при передаваемая энергия экспоненциально убывает до нуля. Этот расчет подтверждает проведенные в § 1 качественные; оценки значения верхнего предела Ьшакс.