§ 2. Цилиндрические резонаторы и волноводы

Возбуждение и распространение электромагнитных волн в полых металлических трубах имеет широкое практическое применение. Если труба имеет торцовые поверхности, то она называется резонатором, в противном случае — волноводом.

Фиг. 8.3. Полый цилиндрический волновод с произвольным поперечным сечением.

В дальнейшем мы будем считать граничные поверхности идеально проводящими. Имеющиеся в действительности потери можно рассчитать методом, изложенным в § 1. Цилиндрическая поверхность S произвольного поперечного сечения изображена на фиг. 8.3. Мы предполагаем для простоты, что размеры и форма поперечного сечения не меняются вдоль оси цилиндра. При синусоидальной зависимости от времени — уравнения Максвелла для полей внутри цилиндра принимают вид

Здесь предполагается, что цилиндр заполнен однородной непроводящей средой с диэлектрической проницаемостью и магнитной проницаемостью Из (8.16) следует, что Е и В удовлетворяют уравнению

    (8.17)

Благодаря цилиндрической симметрии можно выделить зависимость от координаты z и положить

Беря соответствующие линейные комбинации, можно получить как бегущие, так и стоячие волны. Волновое число k является пока неизвестным параметром и может быть как действительным, так и комплексным. При выбранной зависимости полей от волновое уравнение сводится к двумерному уравнению

где V? — поперечная часть оператора Лапласа

Удобно также разбить поля на две части — параллельную и перпендикулярную оси

Продольное электрическое поле равно

а поперечное

где единичный вектор, направленный вдоль оси . Аналогичные обозначения введем и для вектора магнитной индукции В. Преобразуя роторные уравнения (8.16) и используя явную зависимость (8.18) от , можно выразить поперечные составляющие полей через их продольные составляющие:

Из этих соотношений следует, что для определения полей достаточно знать решения двумерного уравнения (8.19) для остальные составляющие могут быть определены с помощью (8.24).

В качестве граничных условий на поверхности цилиндра примем условия для идеального проводника

где — единичный вектор нормали к поверхности. Поскольку уравнения Максвелла и граничные условия внутренне согласованы, достаточно использовать услойие обращения в нуль -составляющей электрического поля на поверхности

Для нормальной составляющей В, используя первое соотношение (8.24) для В, мы находим, что из условия следует необходимость выполнения равенства

где — нормальная производная, взятая на поверхности

Двумерное волновое уравнение (8.19) для вместе с граничными условиями для на поверхности цилиндра образуют обычную задачу на собственные значения. При заданной частоте со дифференциальное уравнение и граничные условия удовлетворяются только при определенных значениях продольного волнового числа k (такая ситуация типична для волноводов); при заданном k допустимы только определенные частоты (типичная ситуация для резонаторов). Так как граничные условия для различны, они не могут, вообще говоря, удовлетворяться одновременно. Соответственно поля делятся на две различные группы:

поперечно-магнитные (ТМ-волны)

с граничным условием

поперечно-электрические (ТЕ-волны)

с граничным условием

Вместо названий «поперечно-магнитные» и «поперечно-электрические» волны иногда используют названия «электрические» или «магнитные» волны (или Е- и Н-волны), отмечая этим наличие соответствующей продольной составляющей электрического или магнитного поля. Кроме этих двух типов волн, имеется еще вырожденный тип, так называемые поперечные электромагнитные волны (ТЕМ), в которых равны нулю обе продольные составляющие Из (8.24) видно, что при равных нулю, отличные от нуля поперечные составляющие полей могут существовать только в том случае, когда продольное волновое число удовлетворяет условию

Следовательно, ТЕМ-волны распространяются с той же скоростью, что и волны в свободном пространстве (без ограничивающих поверхностей). Из двумерного волнового уравнения (8.19) следует, что

т. е. каждая составляющая поперечных полей удовлетворяет электростатическому двумерному уравнению Лапласа. Легко убедиться, что являются градиентами скалярных потенциалов, удовлетворяющих уравнению Лапласа, и что поле всюду перпендикулярно Действительно, из закона индукции Фарадея следует

Поскольку зависимость от z выражается множителем то

Точно так же связаны В и Е в плоской волне, распространяющейся в неограниченном пространстве.

Из (8.29) следует, что ТЕМ-волны не могут существовать внутри односвязного полого цилиндрического идеально проводящего проводника. Его поверхность является эквипотенциальной, и, следовательно, электрическое поле внутри нее должно обращаться в нуль. Для получения ТЕМ-волн необходимо иметь две (или более) цилиндрические поверхности. Эти волны являются основными для таких систем, как коаксиальный кабель или двухпроводная линия передачи (см. задачи 8.1 и 8.2).