ЗАДАЧИ

9.1. Рассмотреть поток мощности и энергию поля электрического диполя (9.18), выразив их через комплексный вектор Пойнтинга В и среднюю по времени плотность энергии Действительная часть S дает истинную мощность активных потерь, а мнимая часть представляет собой циркулирующую реактивную мощность.

а) Показать, что действительная часть вектора S направлена по радиусу и дается выражением (9.23), умноженным на

б) Показать, что мнимая часть S имеет следующие составляющие по

Изобразить схему циркуляции потока мощности с помощью соответственно направленных стрелок, длины которых пропорциональны величине в данной точке.

в) Вычислить среднюю по времени плотность энергии:

г) Вывести теорему Пойнтинга для комплексного вектора Пойнтинга. Чему равна мнимая часть от Удовлетворяют ли полученному соотношению результаты, найденные в п. «б» и «в».

9.2. Излучающий квадруполь представляет собой квадрат со сторо-. ной а, в углах которого последовательно размещены заряды q и —q. Квадрат вращается с угловой скоростью со вокруг оси, перпендикулярной его плоскости и проходящей через его центр. Рассчитать квадрупольный момент,

излучаемые поля, угловое распределение излучения и полную мощность излучения в приближении длинных волн.

9.3. Две полусферические идеально проводящие металлические оболочки радиусом R разделены очень тонким изолирующим промежутком. К ним приложено переменное напряжение, так что потенциалы полусфер равны В приближении длинных волн найти поля излучения, угловое распределение излучаемой мощности и полную мощность, излучаемую сферой.

9.4. Тонкая линейная антенна длиной d возбуждается таким образом, что на ее длине укладывается полный период синусоиды тока, как показано на фиг. 9.15.

Фиг. 9.15.

а) Произвести точный расчет мощности, излучаемой в единичный телесный угол, и построить график углового распределения излучения.

б) Определить полную мощность излучения и найти численную величину сопротивления излучения.

9.5. Рассмотреть линейную антенну задачи 9.4, используя метод разложения по мультиполям в приближении длинных волн.

а) Рассчитать мультипольные моменты (электрический дипольный, магнитный дипольный и электрический квадрупольный).

б) Сравнить угловое распределение для низшего неисчезающего мультиполя с точным распределением, полученным в задаче 9.4.

в) Определить полную мощность излучения для низшего мультиполя и соответствующее сопротивление излучения.

9.6. Идеально проводящий плоский экран занимает половину плоскости (именно Плоская волна с интенсивностью и волновым числом k падает вдоль z из области Рассмотреть величину дифрагированных полей в плоскости параллельной плоскости Пусть координаты точки наблюдения будут .

а) Показать, что обычное скалярное приближение Кирхгофа для приводит к дифрагированному полю

где

б) Показать, что интенсивность можно записать в виде

где — так называемые интегралы Френеля. Найти асимптотическое поведение для больших положительных (освещенная область) и больших отрицательных g (область тени). Чему равна величина при Построить графики зависимости I от X при фиксированном

в) С помощью векторной формулы (9.82) получить результаты, эквивалентные п. Сравнить оба полученных выражения.

9.7. Линейно поляризованная плоская волна с амплитудой и волновым числом k падает на круглое отверстие радиусом а в идеально проводящем плоском экране. Волновой вектор падающей волны образует угол а с нормалью к экрану. Волна поляризована перпендикулярно плоскости падения.

а) Рассчитать дифрагированное поле и мощность проходящего Излучения в единице телесного угла с помощью векторной формулы Кирхгофа (9.82), предполагая, что тангенциальное электрическое поле в отверстии равно невозмущенному падающему полю.

б) Сравнить результат п. с обычным скалярным приближением Кирхгофа и с результатами § 8, относящимися к случаю, когда плоскость поляризации совпадает с плоскостью падения.

9.8. В плоском идеально проводящем листе, расположенном в плоскости имеется прямоугольное отверстие со сторонами а и ограниченное прямыми Вектор поляризации нормально падающей плоской волны направлен под углом к длинной стороне отверстия.

а) Рассчитать дифракционное поле и мощность излучения в единице телесного угла с помощью векторного соотношения Кирхгофа (9.82), полагая, что тангенциальное электрическое поле в отверстии равно падающему невозмущенному полю.

б) Получить соответствующий результат с помощью скалярного приближения Кирхгофа.

в) Для случая вычислить в векторном и скалярном приближениях зависимость мощности излучения в единице телесного угла от угла при Построить графики и сравнить оба полученных результата.

9.9. Осью цилиндрической коаксиальной линии с внутренним радиусом а и внешним радиусом b является отрицательная ось z. Внутренний и внешний проводники обрываются при причем внешний цилиндр соединен с бесконечным плоским фланцем, занимающим всю плоскость (за исключением круга радиусом b с центром в начале координат). В этой коаксиальной линии возбуждается его основная волна типа ТЕМ с частотой со и с амплитудой напряжения между цилиндрами V. С помощью векторного приближения Кирхгофа рассчитать поля излучения, угловое распределение излучения и полную излучаемую мощность.

9.10. Рассмотреть дифракцию на малом круглом отверстии радиусом а в плоском идеально проводящем экране в предположении, что

а) Пусть поле вблизи экрана со стороны падающей волны имеет нормальную составляющую электрического поля и тангенциальную составляющую магнитного поля Показать, что дифрагированное электрическое поле во фраунгоферовой зоне описывается выражением

где к — волновой вектор в направлении наблюдения.

б) Определить угловое распределение дифрагированного излучения и показать, что полная мощность, проходящая через отверстие, равна

9.11. Ограничив условия задачи 9.10 случаем дифракции плоской волны на малом круглом отверстии, рассмотреть общий случай наклонного падения под углом а к нормали при поляризации, параллельной и перпендикулярной плоскости падения.

а) Рассчитать угловое распределение дифрагированного излучения и сравнить его с результатами векторного приближения Кирхгофа в § 8 и в задаче 9.7 в предельном случае

б) Показать, что коэффициенты прохождения [см. (9.105)] для обеих поляризаций имеют соответственно вид

Заметим, что эти коэффициенты отличаются малым множителем от коэффициентов, получающихся из векторного приближения Кирхгофа для этого случая.