§ 9. Излучение Вавилова—Черенкова

При равномерном прямолинейном движении в свободном пространстве заряженная частица не излучает. Однако частица, движущаяся с постоянной скоростью в материальной среде, может излучать, если ее скорость превышает фазовую скорость распространения электромагнитных волн в среде. Это излучение называется излучением Вавилова — Черенкова (или, короче, черенковским излучением) по имени открывших его ученых (1937 г.). Эта излучение представляет собой коллективный эффект излучения множества атомов среды, электроны которых ускоряются полем проходящей частицы. Ввиду коллективного характера процесса удобно воспользоваться макроскопическим описанием среды, характеризуя ее свойства диэлектрической проницаемостью , а не исследовать детальные свойства отдельных атомов.

Качественное объяснение эффекта можно получить, рассматривая изменение во времени поля быстрой частицы в диэлектрической среде. Обозначим скорость света в среде через с, а скорость частицы — через v. На фиг. 14.14 изображена последовательность сферических волновых фронтов для движущейся частицы при Лишь в случае отдельные сферические волновые поверхности интерферируют, обусловливая образование кильватерного волнового фронта за частицей. Нормаль к этой кильватерной волне образует угол с направлением вектора скорости, где

    (14.117)

Она и определяет направление распространения черенковского излучения.

В гл. 13, § 4, мы уже нашли поля, соответствующие излучению Вавилова — Черенкова, и даже получили выражение (13.82) для интенсивности этого излучения.

Фиг. 14.14. Излучение Вавилова — Черенкова. Окружности изображают последовательность волновых фронтов поля частицы для случаев, когда скорость меньше и больше скорости света в среде. При происходит образование «ударной» электромагнитной волны, движущейся в направлении, определяемом черенковским углом

Однако весьма поучительно рассмотреть эту задачу с помощью потенциалов Лиенара — Вихерта. Как следует из гл. 13, § 4, поля и энергию излучения в немагнитных средах можно рассчитать, рассматривая движение частицы со скоростью в свободном пространстве, производя затем в конечном результате вычислений замену

где — диэлектрическая проницаемость. Для упрощения

анализа будем считать, что не зависит от частоты. Однако, поскольку наши конечные результаты будут получены для отдельных спектральных компонент, они легко смогут быть обобщены.

Потенциалы Лиенара — Вихерта для произвольно движущегося точечного заряда были получены в § 1. При этом неявно предполагалось, что скорость частицы меньше скорости света. В этом случае потенциалы (14.6) в данной пространственно-временной точке определяются поведением частицы лишь в одной более ранней пространственно-временной точке, а именно в соответствующей «запаздывающей» точке. На левой половине фиг. 14.14 это выражается в том, что любая заданная точка лежит лишь на одной окружности. Если же то, как видно из правой половины рисунка, поле в заданной пространственно-временной точке определяется двумя «запаздывающими» положениями. Скалярный потенциал в (14.6) следует теперь заменить выражением

где индексы 1 и 2 относятся к двум моментам запаздывающего времени

Для определения найдем, когда обращается в нуль аргумент -функции в (14.3):

    (14.120)

Для частицы, движущейся с постоянной скоростью v, можно положить Вводя ) — векторное расстояние от истинного положения частицы Р до точки наблюдения Р, получаем

    (14.121)

Решение этого квадратного уравнения имеет вид

    (14122)

Физический смысл имеют лишь действительные положительные корни. При квадратный корень действителен и больше величины так что существует лишь одно пригодное решение для как и отмечалось ранее. Для дело обстоит иначе. Во-первых, даже при действительном квадратном корне (как это имеет место для направлений, приблизительно параллельных или антипараллельных скорости v), он меньше по величине, чем Следовательно, если угол между X и v острый, то решения для (t — t) не существует, т. е. поля перед частицей нет. Если а — угол

между X и v (фиг. 14.15), то при квадратный корень, как легко видеть, принимает чисто мнимые значения. Однако для области углов, удовлетворяющих неравенствам

существует два действительных и положительных значения удовлетворяющих (14.121).

Фиг. 14.15.

Таким образом, электромагнитные потенциалы отличны от нуля лишь внутри черенковского конуса, определяемого условием

Как легко показать, двум корням (14.122) соответствуют следующие значения

    (14.123)

В действительности потенциал (14.119) должен содержать лишь абсолютные величины, поскольку в (14.4) справа должна входить лишь абсолютная величина производной. Таким образом, оба слагаемых в (14.119) складываются и потенциалы могут быть записаны

в виде

    (14.124)

Полученные выражения для потенциалов справедливы внутри черенковского конуса; на его поверхности они обращаются в бесконечность, а вне конуса равны нулю. Они описывают волновой фронт, распространяющийся со скоростью с в направлении определяемом согласно (14.117). Обращение их/в бесконечность, разумеется, физически нереально. Оно связано с исходным допущением о независимости скорости света в среде от частоты. Для достаточно высоких частот (достаточно коротких длин волн) фазовая скорость в среде приближается к скорости света в свободном пространстве. Учет такой зависимости от частоты приводит к сглаживанию на коротких расстояниях и к исключению особенностей.

Потенциалы (14.124) представляют собой частный случай потенциалов, фурье-амплитуды которых даются выражениями (13.57). В свою очередь поля, определяемые потенциалами (14.124), также являются фурье-амплитудами выражений (13.64) и (13.65), где следует считать действительной постояйной. Потери энергии на излучение находятся так же, как и в гл. 13, § 4, интегрированием вектора Пойнтинга по поверхности цилиндра что приводит к окончательному выражению (13.82) для энергии, излучаемой на единице длины.

Приведенное выше описание появления черенковской «ударной волны» при представляет собой адекватное макроскопическое объяснение возникновения черенковского излучения. Если же интересоваться лишь угловым и спектральным распределением излучения, а не его механизмом, то можно с помощью подстановки (14.118) простым, но нестрогим путем получить эти характеристики. Угловое и частотное распределение энергии, излучаемой движущейся частицей, определяется соотношением (14.67):

    (14.125)

Производя подстановку (14.118), приходим к следующему выражению для энергии, теряемой частицей, движущейся в немагнитной диэлектрической среде:

    (14.126)

При равномерном прямолинейном движении так что

Интеграл в правой части есть -функция. Таким образом,

    (14.128)

где угол отсчитывается от направления скорости v. Наличие -функции показывает, что энергия излучается лишь в направлении, характеризуемом черенковским углом

Присутствие в угловом распределении (14.128) квадрата -функции означает, что полная энергия, излученная в единичном интервале частот, бесконечна. Появление этой расходимости связано с предположением, что частица движется в среде неограниченно долго. Для получения разумного результата будем считать, что частица проходит слой диэлектрика в течение времени . В этом случае расходящийся интеграл в (14.127) заменяется выражением.

При квадрат модуля этой функции имеет резкий максимум при значении угла равном Предполагая, что (при этом угол существует), произведем интегрирование по углам:

отсюда видно, что потери на излучение пропорциональны интер валу времени. Из (14.128) находим полную потерю энергии на излучение в единичном интервале частот при прохождении слоя вещества

    (14.132)

Разделив полученную величину на определим энергию, излученную в единичном интервале частот на единице пути. Наконец,

учитывая значение (14.129) угла найдем

где частота со такова, что полученный результат согласуется с (13.82).

Свойства черенковского излучения можно использовать для измерения скорости быстрых частиц. Если частицы с данной скоростью проходят через среду с известной диэлектрической проницаемостью в, то свет будет испускаться под черенковским углом (14.129).

Фиг. 14.16. Область черенковского излучения. Излучение испускается лишь в заштрихованной полосе частот, для которой выполняется условие

Таким образом, измерение угла позволяет определить скорость. Так как диэлектрическая проницаемость среды 8, вообще говоря, зависит от частоты, световое излучение разной длины волны будет испускаться под несколько различающимися углами. На фиг. 14.16 изображена типичная кривая дисперсии с областью аномальной дисперсии в верхнем конце интервала частот. Заштрихованная область соответствует полосе частот, в которой существует черенковское излучение. Так как в области аномальной дисперсии диэлектрические среды обладают сильным поглощением, максимум спектрального распределения черенковского излучения дежит несколько ниже резонансного значения частоты. Чтобы выделить малый интервал частот и повысить тем самым точность измерений скорости, можно применять узкополосные фильтры. Для очень быстрых частиц в качестве среды можно использовать газ; тогда диэлектрическая проницаемость мало отличается от единицы, а величину () можно менять в широких пределах, изменяя давление газа. Счетчики, использующие черенковское

излучение, нашли широкое применение в физике частиц высоких энергий как измерители скорости, в качестве масс-спектрометров (в сочетании с устройством для определения импульса), а также в качестве дискриминаторов, которые позволяют устранить нежелательные медленные частицы.