§ 12. Смешанные граничные условия. Заряженный проводящий диск

Рассмотренные до сих пор задачи принадлежали к обычному виду: на всей граничной поверхности выполняются однотипные граничные условия (обычно условие Дирихле). Однако при

доказательстве теоремы единственности решения уравнений Лапласа и Пуассона (см. гл. 1, § 9) было показано, что и при смешанных граничных условиях, когда на одной части поверхности задан потенциал, а на другой — его нормальная производная, решение также является вполне определенным и единственным. Обычно в учебниках по электростатике, упомянув о возможности смешанных граничных задач при доказательстве теоремы единственности, больше к ним не возвращаются.

Фиг. 3.11.

Это объясняется тем, что, как мы увидим ниже, задачи со смешанными граничными условиями значительно труднее задач с граничными условиями обычного типа.

Чтобы продемонстрировать трудности решения задач со смешанными граничными условиями, рассмотрим простую на первый взгляд задачу об изолированном бесконечно тонком плоском круглом проводящем диске радиусом а с полным зарядом q на нем (фиг. 3.11). Заряд распределяется по диску так, чтобы его поверхность стала эквипотенциальной. Необходимо найти потенциал во всем пространстве и распределение заряда на диске.

Из геометрии задачи следует, что потенциал должен быть симметричен относительно оси диска и относительно плоскости, в которой расположен диск. Выберем цилиндрическую систему координат с осью z по оси диска и с началом координат в центре диска. Тогда потенциал, согласно (3.110), представится в виде

    (3.170)

Неизвестная функция должна быть определена из граничных условий при Если бы потенциал был известен на всей

плоскости то функцию можно было бы найти просто обратным преобразованием Ханкеля, как при переходе от (3.110) к (3.113). К сожалению, граничные условия при носят более сложный характер. Известно, что при потенциал Ф постоянен и равен неизвестной константе: где С — емкость диска. Значение потенциала при неизвестно. Но из симметрии задачи ясно, что нормальная производная потенциала здесь равна нулю. Таким образом, граничные условия носят смешанный характер:

    (3.171)

Потенциал диска V связан с полным зарядом q. Эту связь можно установить, рассматривая поведение потенциала на больших расстояниях (q или z > а), где значения потенциала должны быть близки к Из сопоставления представления (3.170) и тождества, приведенного в задаче 3.12, п. «в», следует, что это сводится к требованию

    (3.172)

Применяя граничные условия (3.171) к решению, записанному в виде (3.170), получаем два интегральных уравнения первого рода

    (3.173)

Такая система двух интегральных уравнений, одно из которых справедливо на одной части области изменения независимой переменной, а второе — на другой, называется системой парных интегральных уравнений. Общая теория парных интегральных уравнений весьма сложна и недостаточно еще развита. Но задача о заряженном диске в различных вариантах уже давно привлекает к себе внимание. Впервые решил эту задачу Вебер в 1873 г. с помощью некоторых разрывных интегралов, содержащих функции Бесселя. Титчмарш [110] для решения несколько более общей системы парных интегральных уравнений применяет преобразование Меллина. Копсон [30] свел задачу о заряженном диске к интегральному

уравнению абелевского типа для распределения поверхностной плотности заряда. Трантер [112] рассматривает несколько более общие уравнения, чем (3.173). Он вводит систематический метод определения наиболее общей формы решения одного из уравнений пары (однородного) и наложения на него дополнительных условий подстановкой во второе уравнение. Можно также пользоваться методикой Винера — Хопфа.

Для наших целей достаточно заметить, что система парных уравнений

    (3.174)

имеет решение

Здесь — сферическая функция Бесселя порядка (см. гл. 16, § 1). Для системы уравнений (3.173) следует положить Таким образом, мы приходим к решению

    (3.176)

Учитывая соотношение (3.172), устанавливающее связь потенциала V с зарядом q, получаем

Отсюда следует, что емкость диска радиусом а равна

Это значение емкости было экспериментально с большой степенью точности установлено Кэвендишем (около 1780 г.) путем сравнения заряда на диске и на сфере при одинаковом потенциале.

Потенциал в произвольной точке пространства находится по (3.170) и (3.176):

    (3.177)

Легко вычислить значения потенциала на оси диска и в плоскости диска, положив соответственно

Для произвольных q и z интеграл может быть преобразован к виду

    (3.178)

(веберовская форма решения).

Поверхностная плотность распределения заряда на диске определяется соотношением

Это известный разрывный интеграл, тождественно равный нулю при При плотность заряда равна

Интегрируемая особенность в при q а обусловлена предположением о бесконечно малой толщине диска. Практически заряды вследствие взаимного расталкивания около периферии диска действительно распределяются примерно в соответствии с (3.179), но у самого края диска устанавливается конечное, хотя и большое, значение плотности, зависящее от конкретных особенностей данного диска.

Мы рассмотрели задачу о распределении заряда на диске в цилиндрических координатах, чтобы проиллюстрировать сложность задач со смешанными граничными условиями. В данном частном случае можно избежать смешанных граничных условий, производя разделение переменных в уравнении Лапласа в эллиптических координатах. Диск можно при этом рассматривать как предельную форму сплюснутого эллипсоида вращения (см., например, книги Смайта [100] или Джинса [55]).