§ 5. Трансформационные свойства модели Абрагама — Лоренца. Натяжения Пуанкаре

Странный и труднообъяснимый коэффициент 4/3 при члене, характеризующем инерцию электромагнитной энергии, был впервые получен Дж. Дж. Томсоном (1881 г.). Чтобы ясно понять его происхождение, рассмотрим не уравнение движения, а собственную электромагнитную энергию и импульс в модели Абрагама — Лоренца. В гл. 6, § 9, и гл. 11, § 11, были рассмотрены законы сохранения энергии и импульса. При этом мы интерпретировали элементы четвертого столбца (или строки) тензора энергии-импульса Т

(11.134) как плотность импульса и энергии электромагнитного поля. Поэтому естественно в исследуемой модели заряженной частицы отождествить собственную электромагнитную энергию и импульс с соответствующим интегралом по объему от некоторого тензора энергии-импульса собственного поля. Таким образом, -импульс частицы представляется в виде

    (17.34)

где интегрирование производится по всему пространству. В развернутом виде для электромагнитной энергии и импульса частицы получим соотношения

где и -соответственно плотность собственной энергии и плотность импульса.

В системе координат, относительно которой частица покоится, соотношения (17.35) дают (так как тождественно) и

    (17.36)

Индекс (0) означает систему координат, связанную с частицей; U — собственная электростатическая энергия (17.30).

Исходя из этих значений энергии и импульса в собственной системе отсчета частицы, можно получить соответствующие величины в другой лоренцовой системе координат и выявить таким образом их трансформационные свойства. Пусть -импульс электромагнитного поля в системе отсчета, движущейся со скоростью —v относительно покоящейся системы координат, определяется формулой (17.34). В этой лоренцовой системе отсчета заряженная частица движется со скоростью v. Чтобы выразить (17.34) через величины в покоящейся системе отсчета, следует преобразовать подынтегральное выражение. Так как есть лоренц-инвариантный элемент объема, то Далее, тензор преобразуется в соответствии с (11.88). В результате (17.34) можно переписать в виде

Считая для удобства скорость v параллельной оси можно использовать в качестве коэффициенты преобразования, обратного (11.75). В этом случае, как легко показать, энергия и импульс

равны соответственно

    (17.37)

Полученные результаты отличаются от ожидаемых появлением добавочных членов, содержащих составляющую тензора натяжений Максвелла. Таким образом, мы приходим к выводу, что часть энергии и импульса частйцы, обусловленная собственным электромагнитным полем, не преобразуется ожидаемым образом, если тензор натяжений собственного поля не обращается в нуль в покоящейся системе отсчета. Для модели Абрагама — Лоренца собственный тензор натяжений, очевидно, не обращается в нуль. Действительно, в случае сферической симметрии можно из условия обращения в нуль суммы диагональных элементов тензора [см. (11.136)] вывести, что добавочный импульс в формуле (17.37), обусловленный собственными натяжениями, составляет ровно импульса, обусловленного собственной электромагнитной энергией. Это и приводит к появлению коэффициента 4/3 в выражении (17.31) даже в случае нерелятивистских скоростей.

Нарушение лоренц-ковариантных свойств в соотношениях (17.37) связано с отличием от нуля собственного тензора натяжений Максвелла. В свою очередь наличие собственных натяжений является следствием нестабильности распределения заряда при чисто электромагнитных силах взаимодействия. Утверждение о неравенстве нулю тензора натяжений Максвелла для собственного поля есть лишь иное выражение того факта, что электростатические силы стремятся разрушить локализованное распределение заряда. Для стабильной конфигурации материи полные натяжения, обусловленные действием всех видов сил, должны обращаться в нуль.

В 1906 г. Пуанкаре обнаружил, что можно снять сразу две трудности модели Абрагама — Лоренца, постулировав существование соответствующих сил неэлектромагнитного характера, так называемых натяжений Пуанкаре, компенсирующих натяжения Максвелла и обеспечивающих стабильность распределения заряда частицы и обращение в нуль полного тензора натяжений в собственной системе координат частицы. Итак, в дополнение к электромагнитному тензору введем неэлектромагнитный тензор энергии-импульса так что полный тензор энергии-импульса будет равен

    (17.38)

При этом -вектор энергии-импульса частицы будет вместо (17.34 определяться выражением

    (17.39)

Эта величина является лоренц-ковариантной, если тензор Пуанкаре в собственной системе координат частицы имеет вид

    (17.40)

и, кроме того,

    (17.41)

Последнее равенство математически выражает то требование, что для обеспечения стабильности заряда силы притяжения, описываемые натяжениями Пуанкаре, должны компенсировать электростатические силы отталкивания.

Модель Пуанкаре показывает, что в выражении для собственной энергии или массы не следует отделять электромагнитную часть от части, обусловленной силами другой природы, так как взятые в отдельности они не являются лоренц-ковариантными. Физический смысл имеет лишь полная собственная энергия или масса

Постулат Пуанкаре обеспечивает одновременно требуемые релятивистские ковариантные свойства полной энергии и импульса частицы и стабильность распределения заряда частицы. Поэтому его можно рассматривать как приемлемое решение проблемы в рамках классической теории. Происхождение и физическая природа натяжений Пуанкаре, разумеется, неизвестны. Наличие этих натяжений постулируется лишь для того, чтобы согласовать теорию с очевидным экспериментальным фактом существования устойчивых заряженных частиц, энергия и импульс которых обладают определенными твердо установленными трансформационными свойствами лоренц-инвариантности. Так как классическая электродинамика не может сама по себе обеспечить нулевые собственные натяжения, мы вынуждены выйти за ее границы.

В квантовой электродинамике (строго говоря, в теории взаимодействия фотонов с электронами и позитронами, а не с любыми заряженными частицами) возникают, по существу, те же самые трудности, хотя и в другом виде. Теория оперирует с точечными заряженными частицами, обладающими «только» зарядом и «только» массой Частицы, так же как и электромагнитное поле, описываются квантованным полем. Таким образом, квантовая теория описывает взаимодействие двух полей, тогда как классическая теория рассматривает взаимодействие поля с «материей».

В приближении точечных частиц вычисление собственной энергии частицы приводит к расходящемуся результату. Однако в отличие от классического результата

где масса обратно пропорциональна размеру частицы, в квантовой механике мы имеем логарифмическую особенность

здесь а — характерный линейный размер, стремящийся к нулю для точечных частиц. Замена линейной расходимости на логарифмическую связана со взаимной компенсацией членов, обусловленных электромагнитным и электрон-позитронным полями. Кроме того, введение электрон-позитронного поля приводит к эффекту, отсутствующему в классической теории, — расходимости полного заряда частицы. Эти вклады в массу и заряд частицы, представляемые расходящимися интегралами, можно включить в величины наблюдаемых массы и заряда, если описывающим их расходящимся интегралам приписать надлежащие релятивистски ковариантные свойства. Указанная процедура обычно называется перенормировкой. Метод перенормировки оказался довольно плодотворным, поскольку а) перенормировка может быть проделана релятивистски ковариантным образом, б) необходима перенормировка лишь нескольких величин (фактически лишь трех — массы, заряда и волновой функции) и в) метод приводит к четко определенной схеме вычислений. Рассчитанные этим методом слабые радиационные эффекты, например лэмбовский сдвиг и аномальный магнитный момент электрона, полностью согласуются с опытом. При этом достигается точность порядка или

При квантовомеханических расчетах собственных натяжений также возникает трудность, связанная с наличием расходящихся интегралов. Один из способов решения этой проблемы состоит в использовании связи между обращением в нуль дивергенции тензора натяжений и -векторным характером энергии-импульса (см. задачу 11.13). Вычисление электродинамических вкладов в дивергенцию тензора натяжений и собственные натяжения показывают, что в обоих случаях появляются одинаковые расходящиеся интегралы. Из законов сохранения энергии и импульса следует, что дополнительный вклад в дивергенцию тензора натяжений должен отсутствовать. На этом основании расходящиеся интегралы формально следует положить равными нулю. Так как в выражении для собственных натяжений появляются те же самые интегралы, можно сказать, что их следует опустить, исходя из закона сохранения энергии и импульса. Другой метод обхода указанных трудностей

состоит в том, что в дополнение к электромагнитному полю формально вводятся одно или несколько векторных полей, описывающих взаимодействие с частицей, а константы связи (зарядов) выбираются так, чтобы вклад дополнительных полей в собственные натяжения и дивергенцию тензора натяжений погашал соответствующие электродинамические слагаемые. Этот метод сведения собственных натяжений к нулю по своей сути аналогичен классическим методам натяжений Пуанкаре, хотя и сильно отличается деталях.