Глава 8. ВОЛНОВОДЫ И РЕЗОНАТОРЫ

Изучение электромагнитных полей, ограниченных металлическими стенками, представляет значительный практический интерес. При высоких частотах, когда длины волн имеют величину порядка метра или меньше, единственным практически разумным способом генерирования и передачи электромагнитного излучения является использование металлических конструкций, размеры которых сравнимы с длиной волны. В этой главе мы рассмотрим сначала поля вблизи поверхности проводника и изучим проникновение поля в проводник, сопровождаемое омическими потерями. Далее в довольно общем виде рассматривается задача об электромагнитных волнах в полых металлических трубах (волноводах) и резонаторах, причем по ходу изложения обсуждаются различные частные случаи. В заключение мы вкратце остановимся на теории диэлектрических волноводов, которые также пригодны для передачи электромагнитных волн.

§ 1. Поля на поверхности и внутри проводника

В конце § 7 предыдущей главы отмечалось, что задача об отражении и преломлении волн на границе двух проводящих сред довольно сложна. Однако наиболее важные и полезные особенности этого явления можно выяснить приближенным методом, если одна из сред является хорошим проводником. Этот приближенный метод в пределах области своей применимости оказывается пригодным для решения существенно более общих задач, чем падение плоских волн.

Рассмотрим сначала поверхность с единичной нормалью , направленной от идеального проводника, расположенного с одной стороны от этой поверхности, в сторону непроводящей среды, расположенной по другую сторону. Так же как и в статическом случае, внутри проводника электрическое поле отсутствует. Заряды внутри идеального проводника предполагаются столь подвижными, что они мгновенно реагируют на сколь угодно быстрые изменения поля, всегда создавая на поверхности требуемую поверхностную плотность заряда 2, обеспечивающую нулевое электрическое поле внутри проводника. Эта поверхностная плотность заряда определяется из соотношения

Аналогично при изменении во времени магнитного поля поверхностные заряды движутся под действием тангенциального магнитного поля, создавая поверхностный ток К, обеспечивающий отсутствие магнитного поля внутри идеального проводника

Остальные два граничных условия для нормальной составляющей и тангенциальной составляющей Е имеют вид

Здесь индекс с относится к полю в проводнике. Граничные условия (8.3) показывают, что на внешней стороне поверхности идеального проводника электрическое поле Е имеет только нормальную составляющую, а магнитное поле Н — только тангенциальнуку составляющую и что внутри идеального проводника поля скачком спадают до нуля (фиг. 8.1).

Поля вблизи поверхности неидеального, но хорошего проводника должны вести себя приблизительно так же, как и в случае.

идеального проводника. Как мы видели в § 7 предыдущей главы, внутри проводника поля уменьшаются в раз на характеристической длине , называемой толщиной скин-слоя. Для хороших проводников измеряется при средних частотах долями сантиметра. Следовательно, граничные условия (8.1) и (8.2) приближенно выполняются для хороших проводников, если не считать тонкого переходного поверхностного слоя.

Фиг. 8.1. Поля вблизи поверхности идеального проводника.

Рассмотрение самого переходного слоя требует, однако, известной осторожности. Прежде всего из закона Ома (7.68) следует, что при конечной проводимости, строго говоря, не может быть поверхностного тока, как это предполагается в (8.2). Вместо этого граничные условия для магнитного поля будут иметь вид

Для оценки эффектов, обусловленных конечной проводимостью, мы применим метод последовательных приближений. Предположим сначала, что на внешней стороне проводника имеется только нормальное электрическое поле и тангенциальное магнитное поле как и в случае идеального проводника. Величины этих полей мы будем считать известными из решения соответствующей граничной задачи. Затем мы используем граничные условия и уравнения Максвелла в проводнике для нахождения полей внутри переходного слоя, а также малых поправок к полям вне проводника. При решении уравнений Максвелла внутри проводника мы воспользуемся тем, что поля меняются по нормали к поверхности гораздо быстрее, чем в направлении, параллельном поверхности. Поэтому всеми производными по координатам, параллельным поверхности, вполне можно пренебречь по сравнению с нормальными производными.

Если вне поверхности имеется тангенциальное поле то на граничного условия (8.4) следует, что такое же поле должно быть

и внутри тела. Если пренебречь током смещения в проводнике, то роторные уравнения (7.69) дают

где предполагается, что поля изменяются по гармоническому закону Если — внешняя единичная нормаль к проводнику, а — координата, отсчитываемая по нормали внутрь проводника, то оператор градиента может быть записан в виде

остальными производными от полей внутри проводника мы пренебрегаем. В этом приближении уравнения (8.5) преобразуются к виду

Объединяя эти уравнения, получаем

где — толщина скин-слоя, определяемая формулой (7.85). Второе из этих уравнений показывает, что Н внутри проводника параллельно его поверхности, в согласии с нашими граничными условиями. Решение уравнения (8.7) для имеет вид

где — тангенциальное магнитное поле вне поверхности. Согласно (8.6), электрическое поле в проводнике приближенно можно записать как

Полученные решения для Н и Е внутри проводника обладают всеми свойствами, указанными в § 7 предыдущей главы, а именно: а) они быстро экспоненциально спадают; б) электрическое и магнитное поля сдвинуты по фазе; в) магнитное поле много больше

электрического. Кроме того, из этих решений видно, что поля внутри хорошего проводника параллельны его поверхности и распространяются по нормали к поверхности, причем их величины полностью определяются тангенциальной составляющей магнитного поля Н к на внешней стороне поверхности.

Фиг. 8.2. Поля вблизи поверхности хорошего, но не идеального проводника.

Из граничного условия (8.3) для тангенциальной составляющей Е мы находим, что на внешней стороне поверхности имеется небольшая тангенциальная составляющая электрического поля, определяемая формулой (8.10) при

В рассматриваемом приближении на внешней стороне поверхности имеется также и малая нормальная составляющая В. Она может быть найдена из фарадеевского закона индукции и оказывается

такого же порядка, как и Амплитуды полей внутри и вне проводника схематически показаны на фиг. 8.2.

Существование малой тангенциальной составляющей Е вне поверхности наряду с нормальной составляющей Е и тангенциальной составляющей Н указывает на наличие потока энергии, направленного в проводник. Средняя по времени мощность, поглощаемая единицей поверхности, равна

Эта мощность представляет собой омические потери в толще проводника, в чем нетрудно убедиться. Действительно, согласно закону Ома, плотность тока J вблизи поверхности проводника можно представить следующим образом:

Средняя по времени скорость диссипации энергии (на единицу объема), обусловленной омическими потерями, равна поэтому мощность, выделяющаяся в объеме проводника, лежащем под элементом его поверхности АЛ, будет

Полученное значение мощности потерь в точности совпадает с найденным выше с помощью вектора Пойнтинга [см. (8.12)].

Поскольку ток J течет в тонком слое, примыкающем к поверхности проводника, то его можно считать эквивалентным некоторому эффективному поверхностному току с плотностью

Сравнение с (8.2) показывает, что хороший проводник ведет себя так же, как идеальный проводник, если идеализированный поверхностный ток заменить эффективным током, распределенным в очень тонком, но конечном поверхностном слое. Мощность потерь можно выразить через эффективный поверхностный ток:

Это выражение показывает, что величина играет роль поверхностного сопротивления проводника. Формула (8.15), где определяется соотношением (8.14), позволяет приближенно рассчитывать

омические потери в резонаторах, линиях передачи и волноводах, если известны поля для соответствующей идеализированной задачи с бесконечной проводимостью.