ЗАДАЧИ

3.1. Поверхность полой проводящей сферы с внутренним радиусом а разделена на четное число равных сегментов совокупностью плоскостей, проходящих через ось z и равноотстоящих по углу (Сегменты подобны кожуре на дольках яблока или земной поверхности между двумя меридианами.) Любые два соседних сегмента имеют равный по величине, но противоположный по знаку потенциал .

а) Найти представление потенциала внутри сферы в виде ряда в общем случае сегментов; определить, какие из коэффициентов ряда отличны от нуля. Для отличных от нуля членов выразить коэффициенты через интегралы по переменной

б) Для частного случая (две полусферы) найти потенциал вплоть до членов с (включительно). Преобразованием координат убедиться, что полученное выражение сводится к (3.37) (см. § 3).

3.2. Две концентрические сферы, имеющие радиусы а и b разделены на полусферы одной и той же горизонтальной плоскостью. Верхняя внутренняя и нижняя наружная полусферы находятся под потенциалом V. Две другие полусферы находятся под нулевым потенциалом.

Выразить потенциал в области в виде ряда по полиномам Лежандра, учитывая члены до Проверить правильность решения, переходя к предельным случаям и а 0.

3.3. Заряд равномерно распределен с плотностью по всей поверхности сферы радиусом а, за исключением сегмента у полюса, ограниченного конусом

а) Показать, что потенциал внутри сферической поверхности может быть представлен в виде

где при Каков потенциал снаружи?

б) Найти величину и направление электрического поля в центре сферы.

в) Рассмотреть предельные значения потенциала и электрического поля в центре сферы в случаях, когда незаряженный и заряженный участки очень малы.

3.4. Тонкий плоский проводящий круглый диск радиусом R расположен в плоскости так, что его центр совпадает с началом координат, и нахо дится под потенциалом V. Зная, что плотность заряда на диске с фиксированным потенциалом пропорциональна где q — расстояние центра диска,

а) показать, что при потенциал равен

б) найти потенциал для

3.5. На внутренней поверхности полой сферы радиусом а задано распределение потенциала Доказать эквивалентность следующих двух представлений для потенциала внутри сферы:

где и

где

3.6. Ось полого прямого кругового цилиндра радиусом b совпадает с осью z, а его торцы — с плоскостями На торцовых поверхностях потенциал равен нулю, а на цилиндрической поверхности равен V С помощью метода разделения переменных найти (в виде ряда) потенциал в произвольной точке внутри цилиндра,

3.7. Пусть в цилиндре, рассмотренном в задаче 3.6, цилиндрическая поверхность состоит из двух равных полуцилиндров, находящихся под. потенциалами V и — V, так что

а) Найти потенциал внутри цилиндра.

б) Предполагая рассмотреть потенциал в плоскости как функцию q и Сравнить его с решением двумерной задачи 2.8.

3.8. Показать, что произвольная функция может быть представлена на интервале а модифицированным рядом Фурье — Бесселя

где есть корень уравнения а коэффициенты равны

3.9. В бесконечном тонком плоском проводящем листе имеется отверстие радиусом а. Тонкий плоский проводящий диск чуть меньшего радиуса расположен в этой же плоскости, почти закрывая отверстие; он отделен, от остальной плоскости очень тонким изолирующим кольцом. Диск находится под потенциалом V, а бесконечный лист — под нулевым потенциалом.

а) Применяя соответствующую систему координат, найти интегральное представление через функции Бесселя для потенциала в произвольной точке над плоскостью.

б) Показать, что потенциал на оси диска на расстоянии z от него равен

в) Показать, что потенциал на расстоянии z от плоскости диска над его краем равен

где — полные эллиптические интегралы первого и второго родов.

3.10. Решить задачу 3.2 с помощью надлежащей функции Грина, приведенной в тексте, и показать, что полученное решение совпадает с найденным путем непосредственного решения дифференциального уравнения.

3.11. На отрезке прямой, имеющем длину распределен заряд Q, причем линейная плотность пропорциональна где z — расстояние от середины отрезка. Этот отрезок окружен сферической оболочкой с внутренним радиусом с центром в середине отрезка.

а) Найти потенциал всюду внутри сферы в виде разложения по полиномам Лежандра.

б) Рассчитать поверхностную плотность заряда, индуцированного на сфере.

в) Рассмотреть потенциал и поверхностную плотность в предельном случае

3.12. а) Показать справедливость соотношения

б) Доказать, что

в) С помощью надлежащего предельного перехода доказать справедливость следующих разложений:

г) Из последних формул вывести интегральное представление для функции Бесселя:

Сравнить его с обычным интегральным представлением.

3.13. Единичный точечный заряд расположен в точке внутри заземленного полого цилиндра, ограниченного поверхностями Показать, что потенциал внутри цилиндра можно представить любым из следующих выражений:

Проанализировать связь последнего разложения (с тройной суммой) с первыми двумя.

3.14. Пусть все границы цилиндра, определенного в предыдущей задаче, находятся под нулевым потенциалом, за исключением находящегося под потенциалом V диска радиусом на верхнем торце.

а) С помощью различных представлений функции Грина, полученных в предыдущей задаче, найти три представления потенциала внутри цилиндра.

б) Для каждого ряда определить численно отношение потенциала в точке к потенциалу диска, считая Попытайтесь получить по крайней мере две верные значащие цифры. Одинаково ли быстро сходятся все три ряда? Почему? (Таблицы функций приведены в книге Янке и Эмде [54]. Различные таблицы цилиндрических функций имеются также в книге Ватсона [114].)