Предлагаемая книга возникла из лекций, которые автор читал студентам Московского физико-технического института. Заглавие книги совпадает с названием соответствующего курса, обязательного для студентов, специализирующихся в области прикладной математики.

Стандартный курс дифференциальных уравнений знакомиг студента лишь с основами этой теории. В то же время практическая деятельность математика, занимающегося прикладными задачами, обычно требует знания целого ряда вопросов, далеко выходящих за рамки программы. K их числу относятся прежде всего разнообразные вопросы асимптотического поведения решений. Поэтому, когда стала очевидной необходимость чтения курса дополнительных глав обыкновенных дифференциальных уравнений, то было решено основное внимание сосредоточить на изложении методов асимптотического анализа. Любые исследования имеют дело с моделями реальных процессов. Это значит, что уравнения, оказывающиеся в распоряжении математика, дают лишь приближенное описание явлений, которые представляют собой объект изучения… Исследователь всегда «упрощает задачу», отбрасывая слагаемье и понижая порядок системы. Возможность такого упрощения обычно оправдывается малостью того или другого параметра. Однако не всякую малую величину можно отбросить, не искажая смысла задачи. Поэтому математик, который занимается подобными вопросами, должен владеть методами, позволяющими изучать зависимость решений от параметров задачи и прежде всего асимптотическое поведение решений при их малых значениях. С подобными вопросами математику приходится сталкиваться независимо от того, в какой области он применяет математические методы исследования. Они в равной степени актуальны в физике и в баллистике, теории колебаний и экономике и т. д.

Значение асимптотических методов возросло в последние десятилетия в связи с развитием вычислительных машин. Очень часто высказывается мысль, что благодаря развитию вычислительной техники и методов вычислительной математики уменьшается значение аналитических методов. Автор этой книги является категорическим противником подобной точки зрения и убежден, что эффективные вычислительные методы решения той или иной задачи, экономные с точки зрения затраты машинного времени, всегда должны использовать информацию об аналитической природе задачи. Приведем один пример. Пусть речь идег о задаче Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Если нам известно заранее, что решение представляет собой медленно меняющуюся функцию, то любой численный метод решения задачи Коши, например метод Рунге Кутта, оказывается удовлетворительным. Предположим теперь, что решение – быстроколеблюшаяся функция. Для ее отыскания формально может быть применен любой численный метод. Однако шаг разностной схемы для обеспечения заданной точности должен быть выбран очень малым, т. е. для обеспечения заданной точности мы должны разбить изучаемый интервал независимого переменного на очень большое число шагов. В то же время большое количество шагов в свою очередь приводит к накоплению ошибки и, следовательно, понижает точность окончательного результата. Кроме того, дробление шага значительно увеличивает машинное время, затрачиваемое на решение задачи. Выход из этого положения состоит в использовании асимптотических методов. Они\”позволяют произвести предварительную обработку уравнений, отбросить некоторые «малые слагаемые» и ввести новые переменные. Эти переменные будут уже медленно изменяющимися функциями и могут быть точно и быстро вычислены на машине.

Исследования асимптотических решений обыкновенных дифференциальных уравнений представляют собой обширное и развитое направление этой теории. Поэтому при разработке курса асимптотических методов стал вопрос об отборе материала. Здесь возможен целый ряд решений, и окончательный вариант, вероятно, носит достаточно субъективный характер.

Прежде всего представлялось необходимым познакомить студента, специализирующегося в области прикладной математики, с основами теории малого параметра Ляпунова – Пуанкаре. Эта теория лежит в основе целого ряда методов в астрономии, теории колебаний и т. д. Ее значение состоит не только в том, что она дает метод отыскания периодических решений квазилинейных уравнений. Для целого ряда задач, которые решаются в рамках этой теории, сейчас имеются более эффективнье методы, пригодные, кроме того, для более широкого класса уравнений. Дело заключается в другом: эта теория дает очень много для понимания того, как должны строиться методы исследования новых задач. Изучение генезиса целого ряда современных исследований может показать, что у их истоков находятся идеи и методы, впервые сформулированные в теории Јяпунова Пуанкаре. Эффективным подтверждением этой мысли является метод Лайтхилла – Го в газовой динамике. Теории Ляпунова Пуанкаре посвящена вторая глава предлагаемой книги.

В третьей главе содержится изложение «асимптотических методов разделения движений». В начале двадцатых годов этого века голландский инженер Ван-дер-Голь открыл качественно новый подход к изучению колебательных движений и положил начало новой и важной области в теории колебаний. Н. М. Крылов и Н. Н. Боголюбов сумели посмотреть на весь предмет с совершенно новой точки зрения. Это позволило им разработать асимптотический метод, который в качестве первого слагаемого давал решение, которое можно было получить методом Ван-дерПоля, носившим эвристический характер. Эти работы положили начало новому большому направлению в теории асимптотиче: ских методов. Оно глубоко проникло в различные области теоретической физики, в прикладную астрономию, динамику космических аппаратов и т. д. В последнее время стала очевидной его связь с теорией адиабатических инвариантов, которая развивалась независимо.

Последняя глава книги содержит изложение теории большого параметра – классической теории, ведущей свое начало от работы Лиувилля 1837 г. После работ Биргхоффа и Я. Д. Та: маркина проблема асимптотичєского поведения интегралов систем линейных уравнений, содержащих большой параметр, превратилась в обширную математическую теорию, широко используемую в различных приложениях. Метод WBKJ является одним из ее небольших разделов. Эта теория позволяет проводить эффективное изучение линейных систем с медленно меняющимися коэффициентами.

Перечисленные вопросы составляют основное содержание книги. Им предпосылается небольшая глава, содержащая вопросы вспомогательного или вводного характера: метод фазовой плоскости, примеры нелинейных уравнений, теорема Пуанкаре об аналитической зависимости решения от параметров и некоторые теоремы об ограниченности решений линейных уравнений с переменными коэффициентами.

Перечисленные вопросы совершенно не исчерпывают содержания предмета, стоящего в заголовке книги. Целый ряд важных вопросов, к сожалению, не нашел своего места. $\mathrm{K}$ их числу относится прежде всего проблема параметрического резонанса; теория уравнений типа Хилла и теория решений типа пограничного слоя. Ограниченный объем книги исключал саму мысть о возможности придать ей энциклопедический характер.

Как это видно из приведенного перечисления, предлагаемая книга посвящена дополнительным главам обыкновенных дифференциальных уравнений. Тем не менее в ее заглавии стоят слова «нелинейная механика». Для этого есть несколько причин. Первая из них состоит в том, что формально значительная часть изучаемых вопросов совпадает с традиционным понятием «нелинейная механика». Далее (и это более важно), книга рассчитана на лиц, которые прилагают свои усилия в прикладной сфере. Поэтому все изложение ведется на языке нелинейной механики и иллюстрируется примерами из механики. И, наконец, последнее. В книге используется «Физический уровень строгости». Приводится доказательство только небольшого числа самых простых теорем. Основное внимание уделяется структуре вычислительного алгоритма. Вопросы сходимости или оценок только упоминаются. По каждому из разделов этой книги написано много первоклассных исследований, содержащих обстоятельное изложение трудных вопросов математического характера. K ним автор и отсылает читателя, у которого возникнет желание более глубоко изучить излагаемые вопросы.

Однако данная книга значительно отличается от известных курсов нелинейной механики. Прежде всего она содержит целый ряд вопросов, обычно не включаемых в курсы. Это вопросы асимптотики большого параметра, приложение к вариационным задачам и некоторые другие. Основное же отличие, как нам кажется, состоит в самом духе изложения. Автор избегает большого числа примеров и не тратит времени на их детальный анализ. Не задачи теории нелинейных колебаний, а методы являются объектом анализа.

Настоящая книга по замыслу автора должна служить учебным руководством, которое с небольшой затратой времени позволит ввести читателя в круг изучаемых вопросов и показать возможности излағаемых методов.

Думая о читателях,’ автор прежде всего имел в виду своих слушателей – студентов Физико-технического института и специалистов аналогичного профиля, которые занимаются применением математических методов в естествознании, технике и экономике. Автор надеется, что предлагаемая книга может быть полезна инженерам и физикам, поскольку чисто математические вопросы в ней находятся на втором плане и изложение вполне элементарно.

Автор искренне благодарен Владимиру Марковичу Волосову, внимательно прочитавшему рукопись и сделавшему много замечаний, которые позволили устранить ряд неточностей и усовершенствовать изложение,