Вернемся теперь к расчету установившихся режимов в примерах, рассмотренных в п. 3 настоящего параграфа. Рассмотрим сначала уравнение (8.9) при $\omega=1$. Это уравнение допускает резонансное решение вида
\[
x=M \cos t+N \sin t+\mu x_{1}+\mu^{2} x_{2}+\ldots
\]
Решение (8.36) может быть построено методом, изложенным в предыдущем параграфе. Однако, согласно теореме Малкина, кроме решения (8.36) уравнение (8.9) может допускать также и решение вида
\[
x=x_{1} \mu^{r}+x_{2} \mu^{2 r}+\ldots
\]
Решение (8.37) может быть построено, следуя изложенному методу. Для этого прежде всего надо определить показатель $r$ в разложении (8.37).
Рассмотрим порождающее уравнение
\[
\ddot{x}+x=\alpha x^{3} .
\]
Решение уравнения (8.38) мы будем искать, следуя методу Ляпунова. Сделаем сначала замену независимого переменного
\[
t=\tau\left(1+h_{2} c^{2}+h_{3} c^{3}+\ldots\right) .
\]
Тогда уравнение (8.38) примет вид
\[
\frac{d^{2} x}{d \tau^{2}}+x\left(1+2 h_{2} c^{2}+\ldots\right)=\alpha x^{3}\left(1+2 h_{2} c^{2}+\ldots\right) .
\]
Согласно методу Ляпунова решение этого уравнения следует искать в виде
\[
x=c \cos \tau+c^{2} x_{2}+c^{3} x_{3}+\ldots
\]
Функция $x_{2}(t)$ будет удовлетворять следующему уравнению:
\[
\frac{d^{2} x_{2}}{d \tau^{2}}+x_{2}=0
\]
Так как функции $x_{2}$ должны удовлетворять условиям (см. §2)
\[
x_{2}(0)=0 ; \quad\left(\frac{d x_{2}}{d \tau}\right)_{\tau=0}=0,
\]
то очевидно, что $x_{2} \equiv 0$. Для $x_{3}$ получим следующее уравнение:
\[
\frac{d^{2} x_{3}}{d \tau^{2}}+x_{3}=\alpha \cos ^{3} \tau-2 h_{2} \cos \tau .
\]
Для того чтобы уравнение (8.40) допускало периодические решения, необходимо и достаточно выбрать постоянную $h_{2}$ так, чтобы правая часть этого уравнения не содержала $\cos t$. Легко видеть, что
\[
h_{2}=\frac{3 \alpha_{2}}{8} \text {. }
\]
Итак, $h_{2}
eq 0$. Согласно теореме Малкина
\[
r=\frac{1}{2 k+1},
\]
где $2 k$ – младшая степень величины $c$ в разложении периода. В нашем случае это показатель степени при $c$ в слагаемом, содержащим $h_{2}$, т. е. $r=1 / 3$. Теперь решение уравнения (8.9) будем искать в виде ряда
\[
x=x_{1} \mu^{1 / 3}+x_{2} \mu^{2 / 3}+\ldots
\]
Для функций $x_{i}$ имеем следующие уравнения:
\[
\left.\begin{array}{l}
\ddot{x}_{1}+x_{1}=0, \\
\ddot{x}_{2}+x_{2}=0, \\
\ddot{x}_{3}+x_{3}=\sin t+\alpha x_{1}^{3}
\end{array}\right\}
\]
и т. д.
Из первых двух уравнений (8.42) находим
\[
\begin{array}{l}
x_{1}=M_{1} \cos t+N_{1} \sin t, \\
x_{2}=M_{2} \cos t+N_{2} \sin t,
\end{array}
\]
где $M_{i}$ и $N_{i}$ – числа, которыми мы имеем право распоряжаться. Для функции $x_{3}$ мы будем иметь следующее уравнение:
\[
\ddot{x}_{3}+x_{3}=\sin t+\alpha\left\{M_{1}^{3} \cos ^{3} t+3 M_{1}^{2} N_{1} \cos ^{2} t \sin t+3 M_{1} N_{1}^{2} \cos t \sin ^{2} t\right\} .
\]
Постоянные $M_{1}$ и $N_{1}$ мы должны подбирать так, чтобы правая часть уравнения (8.43) не содержала первых гармоник. Проводя очевидные выкладки, находим
\[
M_{1}=0, \quad N_{1}=\sqrt[3]{-\frac{4}{\alpha}} .
\]
Расчет последующих членов разложения
(8.41) проводится
аналогично.
Итак, в условиях главного резонанса, когда частота внешнего возбуждения совпадает с собственной частотой, уравнение Дюффинга (8.9) допускает по меньшей мере два решения, получаемых из квазилинейной теории Пуанкаре и теории Малкина, если $\alpha<0$.
