Этот метод позволяет определить колебания системы, близкие к главным колебаниям. Повторим рассуждения п. 3 этого параграфа для случая консервативных систем.

Фиксируем некоторое число $k$, для которого ${\lambda }_k>0$, и сделаем замену независимой переменной (3.12)
$$t=\frac{\tau }{\sqrt{{\lambda }_k}}(1+c^2{h}_2+c^3{h}_3+\dots ),$$

где $c$-это значение $x_k(0)$.
Система (4.31) примет вид
$$\begin{array}{rl}\frac{d^2{x}_k}{d{\tau }^2}+x_k{(1+c^2{h}_2+\dots )}^2& ={\phi }_k(x_1,\dots ,x_n)\frac{{(1+c^2{h}_2+\dots )}^2}{{\lambda }_k},\\ \frac{d^2{x}_s}{d{\tau }^2}+\frac{{\lambda }_s}{{\lambda }_k}{x}_s{(1+c^2{h}_2+\dots )}^2& ={\phi }_s(x_1,\dots ,x_n)\frac{{(1+c^2{h}_2+\dots )}^2}{{\lambda }_k}\\ (seqk).\end{array}\}$$

Решение ищем в виде рядов
$$x_i=\sum _{r=1}^{\mathrm{\infty }}{c}^r{x}_i^{(r)}(\tau )(i=1,2,\dots ,n).$$

Подставляя ряды (4.35) в уравнения (4.34), получаем уравнення для $x_i^{(r)}$
$$\begin{array}{rrr}\frac{d^2{x}_i^{(1)}}{d{\tau }^2}+x_i^{(1)}=0,& \text{ если }& i=k,\\ \frac{d^2{x}_i^{(1)}}{d{\tau }^2}+\frac{{\lambda }_i}{{\lambda }_k}{x}_i^{(1)}=0,& \text{ если }& ieqk,\end{array}\}$$

и т. д. Здесь ${\phi }_i^{(m)}$-коэффициенты разложения функции ${\phi }_i$ в ряды.
Начальные условия для $x_k^{(s)}$ имеют вид
$$\begin{array}{l}{x}_k^{(1)}(0)=1,{\dot{x}}_k^{(1)}(0)=0,\\ x_k^{(r)}(0)={\dot{x}}_k^{(r)}(0)=0,\end{array}\}$$

если $r>1$.
Начальные условия для $x_i^s(ieqk$ ) должны быть надлежащим образом подобраны.

Условимся рассматривать случай отсутствия кратных корней, т. е. будем предполагать, что ${\lambda }_{s}eq{\lambda }_k$, если $keqs$. Тогда единственным периодическим решением периода $2\pi$ системы (4.36), удовлетворяющей условиям (4.39), будет
$$\begin{array}{l}{x}_k^{(1)}=\cos \tau ,\\ x_s^{(1)}=0\end{array}\}(seqk).$$

Подставляя формулы (4.40) в правые части системы (4.37) и разлагая функции ${\phi }_i^{(1)}$ в ряд Фурье, получаем при $seqk$
$$\begin{array}{l}\frac{d^2{x}_k^{(2)}}{d{\tau }^2}+x_k^{(2)}={\alpha }_{k0}+{\alpha }_{k2}\cos 2\tau ,\\ \frac{d^2{x}_s^{(2)}}{d{\tau }^2}+\frac{{\lambda }_s}{{\lambda }_k}{x}_s^{(2)}={\alpha }_{s0}+{\alpha }_{s2}\cos 2\tau .\end{array}$$

Периодические решения этой системы, удовлетворяющие условиям (4.39), определяются однозначно. Они имеют при $seqk$ вид
$$\begin{array}{l}{x}_k^{(2)}={\alpha }_{k0}-({\alpha }_{k0}-\frac{{\alpha }_{k_2}}{3})\cos \tau -\frac{{\alpha }_{k2}}{3}\cos 2\tau ,\\ x_s^{(2)}=\frac{{\alpha }_{s0}{\lambda }_k}{{\lambda }_s}-\frac{{\lambda }_k}{4{\lambda }_2-{\lambda }_s}\cos 2\tau .\end{array}$$

Первое из уравнений системы (4.38) может быть представлено в форме
$$\frac{d^2{x}_k^{(3)}}{d{\tau }^2}+x_k^{(3)}={\beta }_{k0}+{\beta }_{k1}\cos \tau +{\beta }_{k2}\cos 2\tau +{\beta }_{k3}\cos 3\tau -2h_2\cos \tau .$$

Для того чтобы это уравнение имело периодическое решение, необходимо и достаточно, чтобы постоянная $h_2$ определялась равенством
$$h_2=\frac{1}{2}{\beta }_{k1}=\frac{1}{4{\lambda }_k\pi }{\int }_0^{2\pi }{\phi }_k^{(3)}(t)\cos (t)dt.$$

Продолжая аналогичные выкладки, мы сможем вычислить любой член в разложения (4.35).

Таким образом, метод Ляпунова дает возможность разыскивать периодические решения, близкие к главным колебаниям линейной системы. Эти колебания нелинейных систем естественно по аналогии с линейными колебаниями также называть главными колебаниями.

Предположим теперь, что все ${\lambda }_k>0$, тогда мы можем разыскивать все главные колебания изучаемой нелинейной системы. Если бы речь шла о линейных колебаниях, то решение задачи о главных колебаниях исчерпало бы всю проблему, поскольку любое движение линейной системы можно получить суперпозицией главных колебаний. В нелинейных колебаниях принцип суперпозиции отсутствует. Поэтому, несмотря на то, что мы умеем строить $n$ однопараметрических семейств частных решений, мы еще очень далеки от полного решения задачи. Например, в рамках теории Ляпунова мы не можем ответить на вопрос о том, существуют ли, кроме рассмотренных, другие периодические решения данной консервативной системы, и находить решение задачи Коши с фиксированными начальными данными.