Этот метод позволяет определить колебания системы, близкие к главным колебаниям. Повторим рассуждения п. 3 этого параграфа для случая консервативных систем.
Фиксируем некоторое число $k$, для которого $\lambda_{k}>0$, и сделаем замену независимой переменной (3.12)
\[
t=\frac{\tau}{\sqrt{\lambda_{k}}}\left(1+c^{2} h_{2}+c^{3} h_{3}+\ldots\right),
\]
где $c$-это значение $x_{k}(0)$.
Система (4.31) примет вид
\[
\left.\begin{array}{rl}
\frac{d^{2} x_{k}}{d \tau^{2}}+x_{k}\left(1+c^{2} h_{2}+\ldots\right)^{2} & =\varphi_{k}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \frac{\left(1+c^{2} h_{2}+\ldots\right)^{2}}{\lambda_{k}}, \\
\frac{d^{2} x_{s}}{d \tau^{2}}+\frac{\lambda_{s}}{\lambda_{k}} x_{s}\left(1+c^{2} h_{2}+\ldots\right)^{2} & =\varphi_{s}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \frac{\left(1+c^{2} h_{2}+\ldots\right)^{2}}{\lambda_{k}} \\
(s
eq k) .
\end{array}\right\}
\]
Решение ищем в виде рядов
\[
x_{i}=\sum_{r=1}^{\infty} c^{r} x_{i}^{(r)}(\tau) \quad(i=1,2, \ldots, n) .
\]
Подставляя ряды (4.35) в уравнения (4.34), получаем уравнення для $x_{i}^{(r)}$
\[
\left.\begin{array}{rrr}
\frac{d^{2} x_{i}^{(1)}}{d \tau^{2}}+x_{i}^{(1)}=0, & \text { если } & i=k, \\
\frac{d^{2} x_{i}^{(1)}}{d \tau^{2}}+\frac{\lambda_{i}}{\lambda_{k}} x_{i}^{(1)}=0, & \text { если } & i
eq k,
\end{array}\right\}
\]
и т. д. Здесь $\varphi_{i}^{(m)}$-коэффициенты разложения функции $\varphi_{i}$ в ряды.
Начальные условия для $x_{k}^{(s)}$ имеют вид
\[
\left.\begin{array}{l}
x_{k}^{(1)}(0)=1, \quad \dot{x}_{k}^{(1)}(0)=0, \\
x_{k}^{(r)}(0)=\dot{x}_{k}^{(r)}(0)=0,
\end{array}\right\}
\]
если $r>1$.
Начальные условия для $x_{i}^{s}(i
eq k$ ) должны быть надлежащим образом подобраны.
Условимся рассматривать случай отсутствия кратных корней, т. е. будем предполагать, что $\lambda_{s}
eq \lambda_{k}$, если $k
eq s$. Тогда единственным периодическим решением периода $2 \pi$ системы (4.36), удовлетворяющей условиям (4.39), будет
\[
\left.\begin{array}{l}
x_{k}^{(1)}=\cos \tau, \\
x_{s}^{(1)}=0
\end{array}\right\} \quad(s
eq k) .
\]
Подставляя формулы (4.40) в правые части системы (4.37) и разлагая функции $\varphi_{i}^{(1)}$ в ряд Фурье, получаем при $s
eq k$
\[
\begin{array}{l}
\frac{d^{2} x_{k}^{(2)}}{d \tau^{2}}+x_{k}^{(2)}=\alpha_{k 0}+\alpha_{k 2} \cos 2 \tau, \\
\frac{d^{2} x_{s}^{(2)}}{d \tau^{2}}+\frac{\lambda_{s}}{\lambda_{k}} x_{s}^{(2)}=\alpha_{s 0}+\alpha_{s 2} \cos 2 \tau .
\end{array}
\]
Периодические решения этой системы, удовлетворяющие условиям (4.39), определяются однозначно. Они имеют при $s
eq k$ вид
\[
\begin{array}{l}
x_{k}^{(2)}=\alpha_{k 0}-\left(\alpha_{k 0}-\frac{\alpha_{k_{2}}}{3}\right) \cos \tau-\frac{\alpha_{k 2}}{3} \cos 2 \tau, \\
x_{s}^{(2)}=\frac{\alpha_{s 0} \lambda_{k}}{\lambda_{s}}-\frac{\lambda_{k}}{4 \lambda_{2}-\lambda_{s}} \cos 2 \tau .
\end{array}
\]
Первое из уравнений системы (4.38) может быть представлено в форме
\[
\frac{d^{2} x_{k}^{(3)}}{d \tau^{2}}+x_{k}^{(3)}=\beta_{k 0}+\beta_{k 1} \cos \tau+\beta_{k 2} \cos 2 \tau+\beta_{k 3} \cos 3 \tau-2 h_{2} \cos \tau .
\]
Для того чтобы это уравнение имело периодическое решение, необходимо и достаточно, чтобы постоянная $h_{2}$ определялась равенством
\[
h_{2}=\frac{1}{2} \beta_{k 1}=\frac{1}{4 \lambda_{k} \pi} \int_{0}^{2 \pi} \varphi_{k}^{(3)}(t) \cos (t) d t .
\]
Продолжая аналогичные выкладки, мы сможем вычислить любой член в разложения (4.35).
Таким образом, метод Ляпунова дает возможность разыскивать периодические решения, близкие к главным колебаниям линейной системы. Эти колебания нелинейных систем естественно по аналогии с линейными колебаниями также называть главными колебаниями.
Предположим теперь, что все $\lambda_{k}>0$, тогда мы можем разыскивать все главные колебания изучаемой нелинейной системы. Если бы речь шла о линейных колебаниях, то решение задачи о главных колебаниях исчерпало бы всю проблему, поскольку любое движение линейной системы можно получить суперпозицией главных колебаний. В нелинейных колебаниях принцип суперпозиции отсутствует. Поэтому, несмотря на то, что мы умеем строить $n$ однопараметрических семейств частных решений, мы еще очень далеки от полного решения задачи. Например, в рамках теории Ляпунова мы не можем ответить на вопрос о том, существуют ли, кроме рассмотренных, другие периодические решения данной консервативной системы, и находить решение задачи Коши с фиксированными начальными данными.
