Рассмотрим теперь общий случай уравнения (5.5). Период искомого решения будет снова функцией малого параметра $\varepsilon$. Кроме того, он будет зависеть от того, какой окажется амплитуда порождающего решения $c$, т. е. $T=T(c, \varepsilon)$. Период и частота этого колебания будут аналитическими функциями этих параметров. Положим
\[
\omega(c, \varepsilon)=\frac{\lambda(c)}{1+\varepsilon g_{1}(c)+\varepsilon^{2} g_{2}(c)+\ldots},
\]
где $\lambda(c)$ – частота колебаний «порождающего» решения. Сделаем далее замену независимого переменного
\[
t=\frac{\tau}{\lambda(c)}\left(1+g_{1} \varepsilon+\ldots\right) .
\]
Уравнение (5.5) примет теперь вид
\[
\frac{d^{2} x}{d \tau^{2}}+\frac{\left(1+g_{1} \varepsilon+\ldots\right)^{2}}{\lambda^{2}(c)} f(x)=\varepsilon F\left(x ; \frac{d x}{d \tau} \frac{\lambda(c)}{1+g_{1} \varepsilon+\ldots}\right) \frac{\left(1+g_{1} \varepsilon+\ldots\right)^{2}}{\lambda^{2}(c)} .
\]
При $\varepsilon=0$ уравнение (5.26) переходит в следующее:
\[
\frac{d^{2} x^{(0)}}{d \tau^{2}}+\frac{f\left(x^{(0)}\right)}{\lambda^{2}(c)}=0 .
\]
Заметим, что для достаточно малых значений $c$ все решения уравнения (5.27) периодические, причем период этих решений
равен $2 \pi$ и не зависит от амплитуды $c$. Согласно результатам $\S 3$ этой главы решение уравнения (5.27) можно представить в виде
\[
x^{(0)}=c \cos \tau+c^{2} \psi_{2}(\tau)+\ldots,
\]
где $\psi_{i}(\tau)$ – периодические функции $\tau$ периода $2 \pi$. Обе производные
\[
\left.\begin{array}{l}
\psi^{(1)}(c, \tau)=\frac{\partial x^{(0)}}{\partial c}=\cos \tau+2 c \psi_{2}(\tau)+3 c^{2} \psi_{3}(\tau)+\ldots, \\
\psi^{(2)}(c, \tau)=\frac{\partial x^{(0)}}{\partial \tau}=-c \sin \tau+c^{2} \frac{d \psi_{2}(\tau)}{d \tau}+\ldots
\end{array}\right\}
\]
будут периодическими функциями т периода $2 \pi$. Используя это обсгоятельство, мы можем построить алгоритм вычисления периодических решений, следуя схеме, которая была использована в предыдущем пункте этого параграфа.
Периодическое решение системы (5.26) будем искать в виде ряда (5.11). Положим
\[
x=\sum_{i=0}^{\infty} \varepsilon^{i} x^{(i)} .
\]
Для функций $x^{(i)}$ будем иметь следующие уравнения:
\[
\begin{array}{c}
\frac{d^{2} x^{(0)}}{d \tau^{2}}=-\frac{1}{\lambda^{2}(c)} f\left(x^{(0)}\right), \\
\frac{d^{2} x^{(1)}}{d \tau^{2}}+\frac{1}{\lambda^{2}(c)}\left(\frac{d f}{d x}\right)_{x=x^{0}} x^{(1)}=\frac{1}{\lambda^{2}} F\left(x^{(0)} ; \frac{d x^{(0)}}{d \tau} \lambda\right)-\frac{1}{\lambda^{2}} g_{1}(c) f\left(x^{(0)}\right)
\end{array}
\]
и т. д.
Функции $x^{(i)}$ удовлетворяют условиям (5.10). Периодическое решение уравнения (5.27) периода $2 \pi$, удовлетворяющее условию (5.10), обозначим через
\[
x^{(0)}=Q(c, \tau),
\]
где постоянная $c$ в этом приближении остается неопределенной. Рассмотрим теперь уравнение (5.30). Так как функция $Q(c, \tau)$ является периодической функцией $\tau$ периода $2 \pi$, то правая часть этого уравнения и функция $\left(\frac{d f(x)}{d x}\right)_{x=x^{0}}$ также являются периодическими функциями т периода $2 \pi$.
Уравнение
\[
\frac{d^{2} x^{(1)}}{d \tau^{2}}+\frac{1}{\lambda^{2}}\left(\frac{d f}{d x}\right)_{x=x^{0}} x^{(1)}=0
\]
является уравнением в вариациях для уравнения (5.27), и его фундаментальные решения – функции $\psi^{(1)}$ и $\psi^{(2)}$ – известны.
Они определяются формулами (5.29) и являются периодическими функциями $\tau$ периода $2 \pi$.
Для того чтобы уравнение (5.30) имело периодические решения, необходимо и достаточно, чтобы правая часть этого уравнения была ортогональна функциям $\psi^{(1)}$ и $\psi^{(2)}$, т. е. чтобы она удовлетворяла условиям ( 2.22 )
\[
\left.\begin{array}{l}
g_{1}(c) \int_{0}^{2 \pi} f(Q) \psi^{(1)}(\tau) d \tau=\int_{0}^{2 \pi} F\left(Q, \lambda \frac{\partial Q}{\partial \tau}\right) \psi^{(1)}(\tau) d \tau, \\
g_{1}(c) \int_{0}^{2 \pi} f(Q) \psi^{(2)}(\tau) d \tau=\int_{0}^{2 \pi} F\left(Q, \lambda \frac{\partial Q}{\partial \tau}\right) \psi^{(2)}(\tau) d \tau .
\end{array}\right\}
\]
Получена система двух трансцендентных уравнений (5.31) относительно двух искомых величнн: «амплитуды» $c$ и «поправки на частоту» $g_{1}$. Определив эти зеличины, мы можем найти решение нашей задачи в нулевом приближении
\[
x=Q\left(c, \frac{\lambda(c) t}{1+\varepsilon g_{1}(c)}\right) .
\]
Для того чтобы получить функцию (5.32), мы должны были решить систему двух уравнений, в которые $g_{1}$ входит линейно. Исключив эту величину, мы приходим к некоторому трансцендентному уравнению. Қаждому корню этого уравнения отвечает одно вполне определенное значение поправки на частоту $g_{1}(\varepsilon)$.
Процедура построения последующих приближений совершенно ясна, она является почти дословным повторением процедуры, рассмотренной в предыдущем пункте этого параграфа. Если $c$ является простым и отличным от нуля корнем уравнения (5.31), то расчет каждого последующего приближения сводится к решению линейных уравнений и эти уравнения всегда разрешимы.
Примечание. Условие, что $c$ является простым корнем, существенно. Отказ от этого условия резко усложняет теорию и делает изложенную схему расчета в общем случае просто неверной. Разложения типа (5.11) перестают быть справедливыми. Решения представимы в этих случаях в виде рядов, расположенных по дробным степеням параметра $\varepsilon$. Изложение подобных теорий далеко выходит за рамки элементарного учебника, каким является эта книга.
