Пусть точка $x=y=z_{1}=\ldots=z_{m}=0$ является положением равновесия. Повторяя дословно рассуждения, приведенные в § 1 этой главы, приходим к следующей теореме.

Система (4.5) допускает в окрестности начала координат $x=y=z_{1}=\ldots=z_{m}=0$ периодическое решение, аналитически за. висящее от одного параметра. В качестве такого параметра может быть принято начальное значение величины $x: x(0)=c$. Начальное значение величины у может считаться при этом равным нулю. Начальные значения величин $z_{j}$ определяются однозначно и являются также аналитическими функциями параметра с. Период решения $T$-тоже аналитическая функция этой величины, причем функция $T$ имеет вид
\[
T=\frac{2 \pi}{\lambda}\left(1+h_{2} c^{2}+h_{3} c^{3}+\ldots\right)
\]

и, следовательно,
\[
\lim _{c \rightarrow 0} T=\frac{2 \pi}{\lambda} .
\]

Само периодическое решение является аналитической функцией параметра с и обращается в тривиальное при $c=0$.

Таким образом, система Ляпунова произвольного числа степеней свободы также обладает периодическими решениями в окрестности начала координат. Однако в случае системы с одной степенью свободы они исчерпывают все возможные движения, которые описывает система Ляпунова. В случае произвольного числа степеней свободы они выделяют только однопараметрическое семейство таких решений. Полный набор решений должен зависеть от $n-1$ параметра (поскольку одна из постоянных аддитивна), но свойства остальных решений зависяг уже от других точек спектра матрицы $\left\|a_{i j}\right\|$.

Примечание. Пусть мы определили однопараметрическов семейство периодических решений
\[
x(t, c), y(t), \quad z_{1}(t, c), \ldots, z_{m}(t, c) .
\]

Очевидно, что решением будет также и такая система функций
\[
x(t+h, c), y(t+h, c), z_{1}(t+h, c), \ldots, z_{m}(t+h, c)
\]

для любого $h$. Таким образом, метод Ляпунова позволяет выделить двупараметрическое семейство периодических решений.