Для вычисления периода составим дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют переменные $\rho$ и $\theta$. Вычислим
\[
\dot{x}=\dot{\rho} \cos \theta-\rho \dot{\theta} \sin \theta, \quad \dot{y}=\dot{\rho} \sin \theta+\rho \dot{\theta} \cos \theta .
\]

Заменяя в системе (1.15) производные $\dot{x}$ и $\dot{y}$ их выражениями из уравнений (1.8) и разрешая полученную систему относительно производных $\dot{x}$ и $\dot{y}$, найдем искомые уравнения
\[
\begin{array}{c}
\frac{d \rho}{d t}=X(\rho \cos \theta, \rho \sin \theta) \cos \theta+Y(\rho \cos \theta, \rho \sin \theta) \sin \theta, \\
\frac{d \theta}{d t}=\lambda+\frac{1}{\rho}\{Y(\rho \cos \theta, \rho \sin \theta) \cos \theta-X(\rho \cos \theta, \rho \sin \theta) \sin \theta\} .
\end{array}
\]

Из второго уравнения определим $t$ :
\[
t=\int_{0}^{\theta} \frac{\rho d \theta}{\lambda \rho+Y(\rho \cos \theta, \rho \sin \theta) \cos \theta-X(\rho \cos \theta, \rho \sin \theta) \sin \theta}+t_{0} .
\]

Для того чтобы удовлетворить условиям (1.13), необходимо константу в (1.17) принять равной нулю. Используем теперь тот факт, что $\rho$ – аналитическая функция $\mu$ (см. представление $\mu$ в виде ряда (1.11)). Это позволит разложить подынтегральную функцию в выражении (1.17) в ряд по степеням $\mu$
\[
t=\frac{1}{\lambda}\left\{\theta+\int_{0}^{\theta}\left[\mu \theta_{1}(\theta)+\mu^{2} \vartheta_{2}(\theta)+\ldots\right] d \theta\right\},
\]

где $\vartheta_{i}(\theta)$ – периодические функции $\theta$ периода $2 \pi$. Следовательно, подынтегральная функция в (1.17′) также периодическая функция $\theta$ периода $2 \pi$. С.тедовательно, интеграл
\[
I=\int_{\theta_{0}}^{\theta_{0}+2 \pi}\left[\mu \vartheta_{1}(\theta)+\mu^{2} \vartheta_{2}(\theta)+\ldots\right] d \theta
\]

не зависит от $\theta_{0}$ и его можно записать в виде
\[
I=2 \pi\left(\mu h_{1}+\mu^{2} h_{2}+\ldots\right),
\]

где $h_{i}$ – вполне определенные числа. Таким образом, при изменении $\theta$ на $2 \pi$ время $t$ получает приращение $T$
\[
T=\frac{2 \pi}{\lambda}\left(1+\mu h_{1}+\mu^{2} h_{2}+\ldots\right),
\]

не зависящее от $\theta_{0}$. Пусть теперь $\Phi(\theta)$ – некоторая периодическая функция $\theta$ периода $2 \pi$, тогда
\[
\Phi(\theta+2 \tau)=\Phi(\theta) .
\]

Рассматривая ее как функцию $t$, будем иметь
\[
\Phi(t+T)=\Phi(t) .
\]

Равенство (1.19) справедливо для любых $\theta$, следовательно, и равенство (1.20) справедливо для любых $t$, т. е. $\Phi(t)$ – периодическая функция $t$. Зиачит, величина $T$, определенная формулой (1.18) как функция $\mu$, и есть период решения.

Используя (1.17), мы можем записать его в следующем виде:

при $\mu \rightarrow 0$ период $T$ стремится к периоду линейных колебаний $2 \pi / \lambda$, т. е. к периоду колебаний в системе (1.8) при $X \equiv 0, Y \equiv 0$.