В заключение рассмотрим еще один пример
\[
\ddot{x}+\sin x=0 .
\]

Уравнение (1.9) описывает движение математического маятника. Интеграл энергии уравнения (1.9) можно записать так:
\[
\frac{1}{2} \dot{x}^{2}=C-\Pi \text {, }
\]

где
\[
\mathrm{II}=1-\cos x .
\]

Фазовая плоскость уравнения (1.9), изображенная на рис. 7 , в этом случае будет иметь периодическую структуру. В окрестностях точек $x_{j}=2 \pi j(j=0 \pm 1, \pm 2, \ldots)$ движения будут периодическими. Через точки $x_{k}=k \pi(k= \pm 1, \pm 3, \ldots)$ проходит сепаратриса, которая отделяет области периодических движений от областей неограниченных движений.

Фазовой плоскостью рассмотренного типа будет, очевидно, обладать любая колебательная система, которая описығается уравнением вида
\[
\ddot{x}+f(x)=0,
\]

где $f(x)$ – периодическая функция $x$ периода $T$ и такая, что
\[
\bar{f}=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(x) d x=0 .
\]

Рассмотренных примеров достаточно, чтобы убедиться в огромном разнообразии возможных типов движений, описываемых нелинейными уравнениями.
Рис. 7.
Примечание. Мы рассмотрели метод фазовой плоскости на примерах линейного уравнения и уравнения Дюффинга. Этот метод применим при исследовании широкого класса дифференциальных уравнений второго порядка, включая уравнения с разрывными правыми частями. В самом деле, все рассуждения этого параграфа могут быть проведены для уравнения
\[
\ddot{x}+f(x)=0
\]

при единственном условии существования интеграла
\[
\text { II }=\int_{0}^{x} f(x) d x .
\]