Покажем теперь, что $T$ – четная функция $\mu$. Вернемся снова к интегралу (1.10). Рассматривая его как уравнение относительно $\rho$, мы получаем в окрестности точки $\rho=0$ два решения. Одно из них дается рядом (1.11)
\[
\rho=\mu+b_{2}(\theta) \mu^{2}+b_{3}(\theta) \mu^{3}+\ldots ;
\]

к другому решению приходим, єсли в (1.11) заменить $\mu$ на – $\mu$ :
\[
\rho=-\mu+b_{2}(\theta) \mu^{2}-b_{3}(\theta) \mu^{3}+\ldots
\]

Теперь заметим, что левая часть уравнения (1.10) не изменится, если заменим $\rho$ на $-\rho$ и $\theta$ на $\theta+\pi$. Следовательно, на основании (1.1.1) будем иметь
\[
-\rho=\mu+b_{2}(\theta+\pi) \mu^{2}+b_{3}(\theta+\pi) \mu^{3}+\ldots
\]

Значение $\rho$, определенное рядом (1.22), будет корнем уравнения (1.10), не совпадающим с (1.11) (хотя бы потому, что для малых $\rho$ из (1.11) следует $\rho=\mu+O\left(\mu^{2}\right)$, а из (1.22) $\rho=-\mu+O\left(\mu^{2}\right)$. Следовательно, оно будет определяться рядом (1.21). Сравнивая (1.21) и (1.22), получаем
\[
b_{2}(\theta)=-b_{2}(\theta+\pi), \quad b_{3}(\theta)=b_{3}(\theta+\pi)
\]

ит. д.
Отсюда следует, что если в выражении (1.11) заменить $\mu$ на $-\mu$, а $\theta$ на $\theta+\pi$, то величина $\rho$ примет свое значение с обратным знаком:
\[
\rho(-\mu, \theta+\pi)=-\rho(\mu, \theta) .
\]

Выпишем теперь выражение для периода $T$. На основании (1.17) имеем
\[
T(\mu, 0)=\int_{0}^{2 \pi} \frac{\rho d \theta}{\lambda \rho+Y(\rho \cos \theta, \rho \sin \theta) \cos \theta-X(\rho \cos \theta, \rho \sin \theta) \sin \theta} .
\]

Сделаем в (1.23) замену $\mu$ на $-\mu$, а $\theta$ на $\theta+\pi$. Тогда получим величину
\[
T(-\mu, \pi)=\int_{\pi}^{\pi+2 \pi} \frac{\rho(-\mu, \theta+\pi) d \theta}{\lambda \rho(-\mu, \theta+\pi)+Y \cos (\theta+\pi)-X \sin (\theta+\pi)} .
\]

Согласно доказанному величины $\rho \cos \theta$ и $\rho \sin \theta$ сохраняют свои значения. Следовательно, то же самое можно сказать и о функция $X$ и $Y$. В то же время $\rho, \cos \theta$ и $\sin \theta$ изменят свои знаки. Следовательно, знаменатель изменит знак на обратный, но и числитель изменит знак на обратный. Следовательно,
\[
T(\mu, 0)=T(-\mu, \pi) .
\]

Но подынтегральная функция в выражении (1.23) – периодическая функция переменной $\theta$ периода $2 \pi$, и, следовательно,

Итак,
\[
T(-\mu, \pi)=T(-\mu, 0) .
\]
\[
T(-\mu, 0)=T(\mu, 0),
\]
т. е. период – четная функция величины $\mu$.