В предыдушем параграфе мы рассмотрели два примера неустойчивых колебаний маятников. IПроблема устойчивости колебательных движений систем с переменными параметрами в общем случае очень сложна. До сих пор не существует условий, которым должны удовлетворять коэффициенты уравнения – необходимые и достаточные для устойчивости его нулевого решения. Результаты, которые здесь существуют, относятся только к некоторым специальным классам уравнений. Мы приведем два простых критерия, соответствую-
*) См., например, Дж. Стокер, Нелинейные қолебания в механических 1 электрических системах, ИЛ, Москва, 1952.
щих обоим типам уравнений, рассмотренным в предыдущем параграфе. Они являются только достаточными критериями. Несмотря на это, они представляются полезными с прикладной точки зрения.
Рассмотрим маятник, описываемый уравнением
\[
\ddot{x}+g(t) \dot{x}+\omega^{2}(t) x=0,
\]
и предположим, что функция $\omega(t)$ положительная и монотонно изменяющаяся.
В уравнении (4.1) сделаем замену независимого переменного
\[
\tau=\int_{0}^{t} \omega(s) d s .
\]
После замены (4.2) уравнение (4.1) примет вид
\[
\frac{d^{2} x}{d \tau^{2}}+\left(\frac{1}{\omega} \frac{d \omega}{d \tau}+\frac{g}{\omega}\right) \frac{d x}{d \tau}+x=0
\]
Обозначим через
\[
E=\frac{1}{2}\left[\left(\frac{d x}{d \tau}\right)^{2}+x^{2}\right]
\]
энергию колебательного движения маятника (4.3) и вычислим ее производную в силу уравнения (4.3)
\[
\frac{d E}{d \tau}=\frac{d x}{d \tau} \frac{d^{2} x}{d \tau^{2}}+x \frac{d x}{d \tau}=-\left(\frac{d x}{d \tau}\right)^{2}\left[\frac{d \omega}{d \tau}+g\right] \frac{1}{\omega} .
\]
Из равенства (4.4) видно, что для того, чтобы величина $E$ не возрастала, достаточно, чтобы квадратная скобка в выражении (4.4) была не отрицательна, или
\[
\frac{d \ln \omega}{d \tau}+\frac{g}{\omega} \geqslant 0
\]
Если величина $E$ остается ограниченной, то и каждая из величин $d x / d \tau$ и $|x|$ остается ограниченной при $\tau \rightarrow \infty$. Так как $\tau$ – монотонная функция $t$, то это утверждение сохраняет силу и относительно переменной $t$.
Итак, возвращаясь к переменному $t$, мы можем сформулировать следующую теорему.
Теорема. Для ограниченности решений уравнения достаточно, чтобы для любого момента времени коэффициенты уравнения (4.1) удовлетворяли неравенству
\[
\frac{d \ln \omega}{d t}+g \geqslant 0
\]
Легко проверить, что коэффициенты уравнения (3.6) удовлетворяют этому условию. В самом деле, величины $\omega$ и $g$ в этом уравнении такие:
\[
g(t)=\frac{1}{t} ; \quad \omega(t)=\frac{1}{t}
\]
и, следовательно,
\[
\frac{d \ln \omega}{d t}+g=0 .
\]
Точно так же легко показать, что колебательное движение оперенной ракеты, взлетающей вертикально вверх с постоянной скоростью, не удовлетворяет условию устойчивости (4.6).
