До сих пор мы изучали только те системы уравнений, у которых корни характеристического уравнения не обращаются в нуль внутри рассматриваемого интервала времени $[0, T]$. Кроме того, при изучении случая кратных корней мы предполагали, что рассматриваемая ситуация (например, кратность корня и структура элементарных делителей) сохраняется на всем отрезке времени $[0, T]$. Точки, лежащие внутри интервала или на его концах, где рассматриваемая ситуация нарушается, условимся называть точками возврата. Асимптотическое поведение решений в окрестности этих точек уже не может описываться формулами, которые мы вывели в предыдущих параграфах этой главы.
Вопрос о построении подобных асимптотик тесно связан с другим общим вопросом. До сих пор мы изучали асимптотические представления экспоненциального типа, например такие
\[
y \sim \exp \left\{\lambda \int_{0}^{t} \mu(t) d t\right\} z(t, \lambda),
\]
где $z(t, \lambda)$ – некоторая вектор-функция, представленная отрезком ряда, расположенного по целым степеням величины $1 / \lambda$. Структура выражения (7.1) показывает, что природа решений изучаемых систем такая же, как и у систем линейных уравнений с постоянными коэффициентами, поскольку функция
\[
\exp \{\lambda \varphi\} \cdot z,
\]
где $z$ – постоянный вектор, а $\varphi$-линейная функция времени, может рассматриваться как частное решение некоторой системы уравнений с постоянными коэффициентами
\[
\frac{d y}{d \varphi}=\lambda A y
\]
где $A$ – постоянная матрица.
Естественно, возникает вопрос об исследовании асимптотических представлений более общего вида
\[
y=\Phi\left(\lambda^{k} \varphi\right) z(t, \lambda),
\]
где $k$ – число, а $\Phi(x)$ – решение «эталонного» уравнения
\[
\frac{d y}{d x}=B y
\]
в котором матрица $B$ – это некоторая функция времени. Мы увидим ниже, что асимптотические представления решений в окрестности точек возврата окажутся среди представлений вида $(7,3)$.
В. С. Пугачев был, по-видимому, первым, который предпринял систематическое изучение представлений вида (7.3)*). Им была развита общая теория представлений вида (7.3) в предположении, что на рассматриваемом отрезке времени система не имеет ни точек возврата, ни кратных корней.
В 1948 г. автором этой монографии были изучены некоторые специального вида системы второго и четвертого порядка,
*) В. С. Пугачев, Об асимптотических представления интегралов систем обыкновенных линейных дифференцильных уравнений, содержащнх параметр, Математ. сборник, т. 15 (57), № 1 (1944).
но в отличие от работы В. С. Пугачева была рассмотрена структура асимптотических представлений в окрестности точек возврата. Позднее некоторые из этих результатов были использованы для построения приближенных методов численного интегрирования *).
В 1953 г. А. А. Дородницын опубликовал подробное исследование асимптотического поведения собственных функций для задачи Шгурма – Лиувиля в тех случаях, когда рассматриваемое уравнение имеет точки возврата**). В этой работе рассматривался тот специальный случай, когда корни характеристического уравнения обращаются в нуль на границе или внутри рассматриваемого отрезка времени.
В 1954 г. вышла монография И. М. Раппопорта ***). Эта книга явилась прежде всего сводкой результатов, в которой последовательно проводилась некоторая единая концепция изучения асимптотических свойств решений; кроме того, она содержала целый ряд оригинальных результатов.
Параллельно с перечисленными работами на западе появился ряд исследований, посвященных тем же вопросам и содержащих близкие результаты. Отметим здесь только одну из работ этого цикла – работу Лангера ****).
За последнее десятилетие опубликовано довольно много работ, посвященных теории асимптотических представлений решений обыкновенных дифференциальных уравнений. В этом параграфе мы рассмотрим только самые простые случаи систем второго порядка.
