Предположим теперь, что напряженность внешней силы $g$ (следовательно, и величины $n$ ) медленно изменяется со временем
\[
n=n(\varepsilon t),
\]
где $\varepsilon$ – малый параметр.
Введем новую независимую переменную
\[
\tau=\varepsilon t
\]
и перепишем уравнение (6.15)
\[
\frac{d^{2} \zeta}{d \tau^{2}}-2 i e \omega \lambda \frac{d \zeta}{d \tau}-\lambda^{2} n^{2}(\tau) \zeta=0 .
\]
Это уравнение имеет несколько более сложный вид, чем те уравнения, которые были рассмотрены в первых параграфах этой главы, поскольку $\zeta$ – комплекснозначная функция. Однако общая схема рассуждений остается неизменной.
Прежде всего в уравнении (6.20) сделаем замену переменных
\[
\zeta=\eta \exp \{i \lambda e \omega t\} .
\]
После очевидных преобразований для новой неизвестной мы получим уравнение, которое уже не содержит первой производной
\[
\frac{d^{2} \eta}{d \tau^{2}}+\lambda^{2}\left(e^{2} \omega^{2}-n^{2}\right) \eta=0
\]
Уравнение (6.21) относится к тому типу уравнений, которым были посвящены первые параграфы этой главы:
\[
\frac{d^{2} \eta}{d \tau^{2}}+\lambda^{2} f(\tau) \eta=0
\]
Его линейно независимые решения имеют вид
\[
\eta_{i}=\frac{C_{i}}{\sqrt[4]{f(\tau)}} \exp \left\{ \pm i \lambda \int_{0}^{\tau} \sqrt{f(\tau)} d \tau\right\} \quad(i=1,2) .
\]
Так как в нашем случае
\[
f=e^{2} \omega^{2}-n^{2}>0,
\]
то общим решением уравнения будет
\[
\begin{aligned}
\eta=\frac{C_{1}}{\sqrt[4]{e^{2} \omega^{2}-n^{2}}} \exp \left\{i \lambda \int_{0}^{\tau}\right. & \left.\sqrt{e^{2} \omega^{2}-n^{2}} d \tau\right\}+ \\
& +\frac{C_{2}}{\sqrt[4]{e^{2} \omega^{2}-n^{2}}} \exp \left\{-i \lambda \int_{0}^{\tau} \sqrt{e^{2} \omega^{2}-n^{2}} d \tau\right\} .
\end{aligned}
\]
Теперь мы можем выписать общее решение уравнения (6.20)
\[
\begin{array}{l}
\zeta=\frac{C_{1}}{\sqrt[4]{e^{2} \omega^{2}-n^{2}}} \exp \left\{i \lambda e \omega t+i \lambda \int_{0}^{\tau} \sqrt{e^{2} \omega^{2}-n^{2}} d \tau\right\}+ \\
+\frac{C_{2}}{\sqrt[4]{e^{2} \omega^{2}-n^{2}}} \exp \left\{i \lambda e \omega t-i \lambda \int_{0}^{\tau} \sqrt{e^{2} \omega^{2}-n^{2}} d \tau\right\} .
\end{array}
\]
Имея в распоряжении формулу (6.22) и повторяя рассуждения, приведенные в конце предыдущего пункта, мы легко установим, что, как и в случае постоянных коэффициентов, гироскоп совершает сложное движение, которое представляет собой суперпозицию медленной и быстрой прецессии. Возвращаясь от переменного $\tau$ к переменной $t$, легко установить, что быстрая прецессия в данном случае описывается следующими формулами:
\[
\begin{array}{l}
x^{(1)}=\frac{A}{\sqrt[4]{e^{2} \omega^{2}-n}} \cos \left\{e \omega t+\int_{0}^{t} \sqrt{e^{2} \omega^{2}-n^{2}} d t+\varphi\right\}, \\
y^{(1)}=\frac{A}{\sqrt[4]{e^{2} \omega^{2}-n^{2}}} \sin \left\{e \omega t+\int_{0}^{t} \sqrt{e^{2} \omega^{2}-n^{2}} d t+\varphi\right\} .
\end{array}
\]
Для медленной прецессии мы получаем следующие выражения:
\[
\begin{array}{l}
x^{(2)}=\frac{B}{\sqrt[4]{e^{2} \omega^{2}-n^{2}}} \cos \left\{e \omega t-\int_{0}^{t} \sqrt{e^{2} \omega^{2}-n^{2}} d t+\psi\right\}, \\
y^{(2)}=\frac{B}{\sqrt[4]{e^{2} \omega^{2}-n^{2}}} \sin \left\{e \omega t-\int_{0}^{t} \sqrt{e^{2} \omega^{2}-n^{2}} d t+\psi\right\},
\end{array}
\]
где $A, B, \psi$ и $\varphi$ – произвольные постоянные.
В отличие от случая, рассмотренного ранее, как это показывают формулы (6.23) и (6.24), движение происходит с переменной амплитудой и переменной частотой.
Мы рассмотрели самую простую задачу о движении гироскопа при условии, что его параметры медленно изменяются. Однако изложенный метод допускает разнообразные обобщения и позволяет решать значительно более сложные задачи, возникающие в теории гироскопа, когда моменты внешних сил и его параметры медленно изменяются во времени. К одной из таких задач мы и переходим.
