До сих пор все наши рассуждения основывались на предположении, что энергия велика и теория, когорая была развита, это асимптотическая теория больших энергий. Ее выводы тем точнее, чем больше угловая скорость вращательного движения. Поэтому излагаемую здесь теорию можно еще назвать асимптотикой быстрых вращений.

Теперь представим себе, что речь идет об исследовании вращательных движений, у которых угловая скорость вращения еще не настолько велика, чтобы можно было использовать асимптотическую теорию быстрых вращений. В этом случае можно воспользоваться методом В. М. Волосова и найти приближенное выражение интегралов невозмущенного движения. В § 2 этой главы мы уже изложили подход В. М. Волосова для изучения существенно нелинейных колебательных движений. Этот подход может быть с успехом применен и для исследования вращательных движений. Более того, в теории вращательных движений реализация этой схемы даже проще, чем в случае колебательных движений. Повторим рассуждения п. 4 § 2 этой главы с учетом тех особенностей, которые связаны с вращательным характером изучаемых движений.
Итак, рассмотрим снова уравнение
\[
\ddot{z}+f(z)=\varepsilon \varphi(z \dot{z}),
\]

где $\varepsilon>0$ – малый параметр, $f(z)$ – периодическая функция периода $2 \pi$.

Так как мы рассматриваем вращательные движения, то речь идет об изучении части фазовой плоскости, заполненной неограниченными движениями (рис. 31). При $\mu=0$ уравнение (7.68) допускает следующие два интеграла:

где
\[
\dot{z}^{2}+U(z)=\alpha,
\]
\[
\begin{aligned}
U(z) & =2 \int f(z) d z \\
\psi(z, \alpha) & =\frac{1}{T(\alpha)} \int \frac{d z}{\sqrt{\alpha-U(z)}}= \\
& =t+\text { const }=\beta .
\end{aligned}
\]

Примем в качестве новых переменных при изучении уравнения (7.68) величины $\alpha$ и $\beta$, и вычислим производные этих величин в силу уравнения (7.68)
\[
\left.\begin{array}{r}
\dot{\alpha}=2 \dot{z}(\ddot{z}+f(z))=2 \varepsilon \varphi(\dot{z}, \sqrt{\alpha-U(z)}) \sqrt{\alpha-U(z)}= \\
=2 \varepsilon \varphi^{*}(z, \alpha) \sqrt{\alpha-U(z)}, \\
\dot{\beta}=\frac{\partial \psi}{\partial z} \dot{z}+\frac{\partial \psi}{\partial \alpha} \dot{\alpha}=\frac{1}{T(\alpha)}+2 \varepsilon \varphi^{*}(z, \alpha) \frac{\partial \psi}{\partial \alpha} \sqrt{\alpha-U(z)} .
\end{array}\right\}
\]

Правые части системы (7.69) являются периодическими функциями $t$ периода $T(\alpha)$, а следовательно, и переменной $\beta$. Поэтому для того, чтобы получить уравнения первого приближения, достаточно осреднить правые части системы (7.69) по переменной $\beta$
\[
\left.\begin{array}{l}
\dot{\alpha}=\frac{2 \varepsilon}{T(\alpha)} \int_{0}^{T} \varphi^{*}(z, \alpha) \sqrt{\alpha-U(z)} d \beta, \\
\dot{\beta}=\frac{1}{T(\alpha)}+\frac{2 \varepsilon}{T(\alpha)} \int_{0}^{T} \varphi^{*}(z, \alpha) \frac{\partial \psi}{\partial \alpha} \sqrt{\alpha-U(z)} d \beta .
\end{array}\right\}
\]

Но дифференциалы $d z$ и $d \beta$ связаны соотношением
\[
d z= \pm \sqrt{\alpha-U(z)} d \beta,
\]

где плюс соответствует движению в верхней полуплоскости, минус – движению в нижней полуплоскости.
Производя в уравнениях (7.70) замену (7.71), получим
\[
\left.\begin{array}{l}
\dot{\alpha}= \pm \frac{2 \varepsilon}{T(\alpha)} \int_{\underline{z}}^{\bar{z}} \varphi^{*}(z, \alpha) d z, \\
\hat{\beta}=\frac{1}{T(\alpha)} \pm \frac{2 \varepsilon}{T(\alpha)} \int_{\underline{z}}^{\bar{z}} \frac{\partial \psi}{\partial \alpha} \varphi^{*}(z, \alpha) d z .
\end{array}\right\}
\]

Интегрирование в этих выражениях производится вдоль фазовой траектории, ордината которой в случае вращения является периодической функцией переменной $z$ периода $2 \pi$. Поэтому в качестве $z$ можно взять $z=0$, тогда $\bar{z}=2 \pi$.
Вычисление периода $T(\alpha)$ также сводится к квадратуре
\[
T(\alpha)=\int_{0}^{2 \pi} \frac{d z}{\sqrt{\alpha-U(z)}} .
\]

Для величины $\dot{\alpha}$ и $\beta$ можно получить и другие приближенные формулы, опираясь на уравнения (7.69).

Так как правые части этих уравнений являются в случае вращательных движений периодическими функциями $z$ периода $2 \pi$, то, усредняя по $z$, мы получим аналог формул (7.72)
\[
\left.\begin{array}{l}
\dot{\alpha}=\frac{\varepsilon}{\pi} \int_{0}^{2 \pi} \varphi^{*}(z, \alpha) \sqrt{\alpha-U(z)} d z, \\
\beta=\frac{1}{T(\alpha)}+\frac{\varepsilon}{\pi} \int_{0}^{2 \pi} \varphi^{*}(z, \alpha) \frac{\partial \psi}{\partial \alpha} \sqrt{\alpha-U(z)} d z .
\end{array}\right\}
\]

Помимо $\dot{\alpha}$ и $\beta$, можно вычислить еще целый ряд важных характеристик. Например, представляет интерес знать изменения максимальной величины $\dot{z}=\dot{z}(0)$. Так как
\[
\frac{d \dot{z}}{d t}=\varepsilon q-l(z)
\]

и, по предположению, $\bar{f}=0$, то, осредняя по $z$, получаем следующую явную формулу:
\[
\frac{d \dot{z}}{d t}=\frac{\varepsilon}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \varphi^{*}(z, \alpha) d z .
\]