Предположим, что речь идет об управлении системой
\[
\ddot{x}=\lambda^{2} M x+A x+\lambda^{2} u,
\]

где $M$ – диагональная матрица
\[
M(t)=\left\|\begin{array}{llll}
\mu_{1}^{2}(t) & & & \\
& \mu_{2}^{2}(t) & & \\
& & \ddots & \\
& & & \mu_{n}^{2}(t)
\end{array}\right\|,
\]
a $A=\left\|a_{i j}(t)\right\|$ – произвольная матрица.
Управление $u(t)$, переводящее систему из положения $x_{0}$ в $x_{T}$ за время $T$, выбирается из условий минимума функционала
\[
J=\lambda^{2} \int_{0}^{T} u^{2} d t .
\]

Для составления $\pi$-системы положим $\dot{x}=y$. Множители Лагранжа (импульсы), соответствующие переменным $x_{i}$, обозначим лерез $p_{i}$, а соответствующие переменным $y_{i}$ – через $q_{i}$. В этих обозначениях функция $H$ будет иметь следующий вид:
\[
H=\sum_{i} y_{i} p_{i}+\lambda^{2} \sum_{i} \mu_{i}^{2} x_{i} q_{i}+\sum_{i, j} a_{i j} x_{i} q_{i}+\lambda^{2} \sum_{i} u_{i} q_{i}-\lambda^{2} \sum_{i} u_{i}^{2} .
\]

Условие максимума $H$ устанавливает связь между управлениями и импульсами
\[
u_{i}=\frac{1}{2} q_{t} .
\]

Используя эти выражения, выпишем систему необходимых условий
\[
\begin{array}{l}
\dot{p}_{i}=-\frac{\partial H}{\partial x_{i}}=-\lambda^{2} \mu_{i}^{2} q_{i}-\sum_{i} a_{i j} q_{j}, \\
\dot{q}_{i}=-\frac{\partial H}{\partial y_{i}}=-p_{i} .
\end{array}
\]

Последнее из этих уравнений позволяет исключить $p_{i}$
\[
\ddot{q}_{i}=\lambda^{2} \mu_{i}^{2} q_{i}+\sum_{i} a_{i j} q_{j} .
\]

Перепишем еще уравнение (9.26)
\[
\ddot{x}_{i}=\lambda^{2} \mu_{i}^{2} x_{i}+\sum_{i} a_{i j} x_{i}+\frac{\lambda^{2}}{2} q_{i} .
\]

Итак, в данном случае $\pi$-сисгема – это система уравнений (9.29), (9.30).

Ограничимся рассмотрением только того случая, когда все $\mu_{i}^{2}(t)$ для любого $t \in[0, T]$ разные. Тогда характеристическая матрица этой системы будет иметь двукратные корни. Кроме того, уравнения для $q_{i}$ не содержат компонент вектора $x$. Следовательно, мы сталкиваемся здесь с одним из случаев вырождения, рассмотренных в предыдущем параграфе. Согласно развитой там общей теории мы можем искать частные решения в виде
\[
\left.\begin{array}{l}
x_{k}=v_{k}(t, \lambda) \exp \left\{\lambda \int_{0}^{t} \mu(t) d t\right\}, \\
q_{k}=u_{k}(t, \lambda) \exp \left\{\lambda \int_{0}^{t} \mu(t) d t\right\},
\end{array}\right\}
\]

где $\mu$ совпадает с одним из значений $\sqrt{\mu_{i}^{2}(t)}$, а $v_{k}$ и $u_{k}$ представимы в виде рядов, расположенных по обратным степеням параметра $1 / \lambda$.

Для определенности построим решение, соответствующее корню $\mu_{1}$, пусть, кроме того $\mu_{1}^{2}>0$ и $\sqrt{\mu_{1}^{2}}=+\left|\mu_{1}\right|$. Тогда первые уравнения систем (9.29) и (9.30) после подстановки (9.31) примут вид
\[
\begin{array}{l}
\ddot{v}_{1}+2 \lambda \mu_{1} \dot{v}_{1}+\lambda \dot{\mu}_{1} v_{1}=\sum_{j} a_{1 j} v_{j}+\frac{\lambda^{2}}{2} u_{1}, \\
\ddot{u}_{1}+2 \lambda \mu_{1} \dot{u}_{1}+\lambda \dot{\mu}_{1} u_{1}=\sum_{j} a_{j 1} u_{j} .
\end{array}
\]

Остальные уравнения этих систем будут иметь такой вид:
\[
\begin{aligned}
\lambda^{2}\left(\mu_{1}-\mu_{s}\right) v_{s}+\ddot{v}_{s}+2 \lambda \mu_{1} \dot{v}_{s}+\lambda \dot{\mu}_{1} v_{s} & =\sum_{j} a_{i j} v_{j}+\frac{\lambda^{2}}{2} u_{s}, \\
\lambda^{2}\left(\mu_{1}-\mu_{s}\right) u_{s}+\ddot{u}_{s}+2 \lambda \mu_{1} \dot{u}_{s}+\lambda \dot{\mu} u_{s} & =\sum_{j} a_{j 1} u_{j} .
\end{aligned}
\]

Заметим, что уравнения (9.32)-(9.35) допускают систему частных решений, в которой $u_{s}(s=1,2, \ldots, n) \equiv 0$. В этом случае система (9.32) и (9.34) примет вид
\[
\left.\begin{array}{c}
\ddot{v}_{1}+2 \lambda \mu \dot{v}_{1}+\lambda \dot{\mu} v_{1}=\sum a_{1 j} v_{j}, \\
\lambda^{2}\left(\mu_{1}-\mu_{s}\right) v_{s}+\ddot{v}_{s}+\lambda \dot{\mu} v_{s}+2 \lambda \mu \dot{v}_{s}=\Sigma a_{s l} v_{j} .
\end{array}\right\}
\]

Положим далее
\[
v_{s}=v_{s 0}+\lambda^{-1} v_{s 1}+\ldots
\]

Из системы (9.35) для старших членов разложения получим
\[
\begin{array}{c}
2 \mu \dot{v}_{10}+\dot{\mu}_{1} v_{10}=0 \\
\left(\mu_{1}-\mu_{s}\right) v_{s 0}=0 \quad(s=2,3, \ldots, n) .
\end{array}
\]

Отсюда сразу следует
\[
u_{10}=\frac{C_{1}}{\sqrt{\mu_{1}}}, \quad u_{s 0} \equiv 0 \quad(s=2,3, \ldots, n) .
\]

Таким образом, первые члены разложения искомого частного решения будут такими:
\[
x_{1}=\frac{C_{1}}{\sqrt{\mu_{1}}} \exp \left\{\lambda \int_{0}^{t} \mu(t) d t\right\}, \quad x_{s} \equiv 0 \quad(s=2,3, \ldots, n),
\]
т. е. для $x_{1}$ получаем обычные формулы WBKJ-метода, а все прочие координаты тождественно равны нулю.

Для вычисления последующих членов разложения функции $u_{1}$ получаем обыкновенные линейные дифференциальные уравнения первого порядка
\[
2 \mu_{1} \dot{u}_{1 k}+\mu_{1} u_{1 k}=\varphi(t),
\]

решение которых находится в квадратурах.
Последующие члены разложенной функции $u_{s}(s=2,3, \ldots, n)$. даются конечными формулами. Например,
\[
u_{s 1}=\frac{c_{11} u_{10}}{\mu_{1}-\mu_{s}} .
\]

Итак, мы получим одну систему частных решений, соответствующих корню $\mu_{1}=+\sqrt{\mu_{1}^{2}}$. Вторую систему решений можно вычис. лить тем же способом, если положить $\mu=-\mu_{1}$.

Два других частных решения, соответствующих $\mu_{1}$, мы получим из рассмотрения уравнений (9.33) и (9.35), которые допускают два линейно независимых решения вида
\[
\begin{array}{l}
u_{1}=\frac{1}{\sqrt{\mu_{1}}}+\lambda^{-1} u_{11}+\ldots, \\
u_{s}=\lambda^{-1} \frac{a_{11} u_{0}}{\mu_{1}-\mu_{s}}+\lambda^{-2}(\ldots)+\ldots
\end{array}
\]

Подставляя затем эти выражения в правую часть уравнений (9.32) и (9.34), найдем некоторую систему неоднородных уравнений, частное решение которой может быть получено известными методами.

Итак, мы указали способ, который позволяет для каждого из чнсел $\mu_{i}^{2}$ построить группу четырех частных решений.