Мы уже видели, что причина неудачи, которая нас постигла при попытке разыскать периодические решения в форме рядов (3.1), состояла в том, что период решения $T$ зависел от $c$. Поэтсму, естественно, возникает вопрос: нельзя ли видоизменить масштаб времени так, чтобы решения полученной системы имели фиксированный период, не зависящий от $c$ (например, равный 2л).
Обратим внимание на формулу (1.24). Она показывает, что если сделать замену
\[
t=\frac{\tau}{\lambda}\left(1+c^{2} h_{2}+c^{3} h_{3}+\ldots\right),
\]
то период колебаний по переменной $\tau$ будет равен $2 \pi$. Сделав в системе уравнений (1.8) замену (3.12), получим
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d x}{d \tau}=[-\lambda y+X(x, y)] \frac{1+c^{2} h_{2}+c^{3} h_{3}+\ldots}{\lambda}, \\
\frac{d y}{d \tau}=[\lambda x+Y(x, y)] \frac{1+c^{2} h_{2}+c^{3} h_{3}+\ldots}{\lambda} .
\end{array}\right\}
\]
Так как правые части системы (3.13) мы умножили на аналитические функции параметра $c$, то решения этой системы, так же как и системы (1.8), аналитические по $c$ и для любого достаточно малого $|c|$ периодические по $\tau$. Но период по независимой переменной теперь уже фиксирован, он равен $2 \pi$.
Периодические решения системы (3.13) будем искать в виде рядов
\[
x=\sum_{k=1}^{\infty} c^{k} x^{(k)}(\tau), \quad y=\sum_{k=1}^{\infty} c^{k} y^{(k)}(\tau) .
\]
Подставим ряды (3.14) в систему уравнений (3.13) и сравним коэффициенты при одинаковых степенях параметра с. Функции
$x^{(1)}(\tau)$ и $y^{(1)}(\tau)$ будут удовлетворять следующей системе уравнений:
\[
\frac{d x^{(1)}}{d \tau}=-y^{(1)}(\tau), \quad \frac{d y^{(1)}}{d \tau}=x^{(1)}(\tau) .
\]
В самом деле, функции $X$ и $Y$, будучи аналитическими функциями своих переменных, таковы, что их разложение начинается с членов второго порядка малости. Следовательно, при подстановке в эти функции рядов (3.14) функции $X$ и $Y$ не будут содержать членов, линейных относительно c. Начальные значения для системы (3.13) определены равенствами (1.13)
\[
t=0: x=\ddot{c}, \quad y=0 .
\]
Следовательно, функции $x^{(1)}$ и $y^{(1)}$ будут соответствовать следующим начальным условиям:
\[
\tau=0: x^{(1)}=1, \quad y^{(1)}=0 .
\]
Функции $x^{(2)}$ и $y^{(2)}$ будут удовлетворять системе уравнений
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d x^{(2)}}{d \tau}=-y^{(2)}+\frac{1}{\lambda} X^{(2)}, \\
\frac{d y^{(2)}}{d \tau}=x^{(2)}+\frac{1}{\lambda} Y^{(2)},
\end{array}\right\}
\]
где $X^{(2)}$ и $Y^{(2)}$ — квадратичные члены разложения функций $X$ и $Y$ по степеням параметра $c$. Так как $X$ и $Y$ — аналитические функции переменных $x$ и $y$, причем их разложение начинается с квадратичных членов, то $X^{(2)}$ и $Y^{(2)}$ являются квадратичными формами переменных $x^{(1)}$ и $y^{(1)}$.
Точно так же каждая пара функций $x^{(k)}$ и $y^{(k)}$, входящая в разложение (3.14), определяется системой уравнений
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d x^{(k)}}{d \tau}=-y^{(k)}+\frac{1}{\lambda} X^{(k)}-h_{k-1} y^{(1)}, \\
\frac{d y^{(k)}}{d \tau}=x^{(k)}+\frac{1}{\lambda} Y^{(k)}+h_{k-1} x^{(1)},
\end{array}\right\}
\]
причем функции $X^{(k)}$ и $Y^{(k)}$ будут содержать величины $x^{(j)}$ и $y^{(j)}$ только тех номеров $j$, которые меньше чем $k$.
Кроме того, функции $X^{(k)}$ и $Y^{(k)}$ будут содержать величины $h_{j}$, причем $j=2,3, \ldots, k-2$. Заметим, что величины $h$ входят в правые части (3.18) только уравнений относительно $x^{(s)}$ и $y^{(s)}$, для которых $s \geqslant 3$ :
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d x^{(3)}}{d \tau}=-y^{(3)}+\frac{1}{\lambda} X^{(3)}-h_{2} y^{(1)}, \\
\frac{d y^{(3)}}{d \tau}=x^{(3)}+\frac{1}{\lambda} Y^{(3)}+h_{2} x^{(1)}
\end{array}\right\}
\]
и т. д
Из условий (1.13) следует, что функции $x^{(k)}$ и $y^{(k)}$ при $k>1$ удовлетворяют начальным условиям
\[
x^{(k)}(0)=0, \quad y^{(k)}(0)=0 .
\]
Вернемся снова к уравнениям (3.13). Хотя числа $h_{i}$ нам неизвестны заранее, но они на основании теоремы Ляпунова (п. 8 § 1 этой главы) определяются однозначно для данной системы и не зависят ни от параметра $c$, ни от начальных условий.
Далее члены рядов (3.14) также определяются однозначно, причем $x^{(k)}(\tau)$ и $y^{(k)}(\tau)$ — периодические функции переменного $\tau$ периода $2 \pi$. В самом деле, $x(\tau)$ и $y(\tau)$ — периодические функции, следовательно,
\[
\left.\begin{array}{l}
\Sigma c^{k} x^{(k)}(\tau+2 \pi) \equiv x(\tau+2 \pi)=x(\tau) \equiv \Sigma c^{k} x^{(k)}(\tau), \\
\Sigma c^{k} y^{(k)}(\tau+2 \pi) \equiv y(\tau+2 \pi)=y(\tau) \equiv \Sigma c^{k} y^{(k)}(\tau) .
\end{array}\right\}
\]
Так как функции $x^{(k)}$ и $y^{(k)}$ не зависят от параметра $c$, а равенства (3.21) справедливы для любого малого $c$, то
\[
x^{(k)}(\tau+2 \pi)=x^{(k)}(\tau), \quad y^{(k)}(\tau+2 \pi)=y^{(k)}(\tau) .
\]
Таким образом, мы можем утверждать заранее, что функции $x^{(k)}(\tau)$ и $y^{(k)}(\tau)$, которые определяются как решение задачи Коши (3.20) для системы уравнений (3.18), будут периодическими функциями времени периода $2 \pi$. С другой стороны, уравнения (3.18) относятся к виду (2.10), где
\[
F_{1}=\frac{1}{\lambda} X^{(k)}-h_{k-1} y^{(1)}, \quad F_{2}=\frac{1}{\lambda} Y^{(k)}+h_{k-1} x^{(1)}
\]
являются периодическими функциями времени, поскольку они определяются периодическими функциями $x^{(1)}, \ldots, x^{(k-1)}$, $y^{(1)}, \ldots, y^{(k-1)}$. Мы установили, что система вида (2.10) имеет периодическое решение тогда и только тогда, когда функции $F_{i}$ удовлетворяют условиям (2.12). На этом основании можно сформулировать следующее вспомогательное утверждение: функции $X^{(k)}, Y^{(k)}$ и числа $h_{k-1}$ всегда удовлетворяют условиям
\[
\left.\begin{array}{rl}
\int_{0}^{2 \pi} F_{1} \cos t d t+\int_{0}^{2 \pi} F_{2} \sin t d t & \equiv \frac{1}{\lambda} \int_{0}^{2 \pi}\left\{\left(X^{(k)}-\lambda h_{k-1} y^{(1)}\right) \cos t+\right. \\
& \left.+\left(Y^{(k)}+\lambda h_{k-1} x^{(1)}\right) \sin t\right\} d t=0, \\
\int_{0}^{2 \pi} F_{2} \cos t d t-\int_{0}^{2 \pi} F_{1} \sin t d t & \equiv \frac{1}{\lambda} \int_{0}^{2 \pi}\left\{\left(Y^{(k)}+\lambda h_{k-1} x^{(1)}\right) \cos t-\right. \\
& \left.-\left(X^{(k)}-\lambda h_{k-1} y^{(1)}\right) \sin t\right\} d t=0 .
\end{array}\right\}
\]
