Мы уже видели, что причина неудачи, которая нас постигла при попытке разыскать периодические решения в форме рядов (3.1), состояла в том, что период решения $T$ зависел от $c$. Поэтсму, естественно, возникает вопрос: нельзя ли видоизменить масштаб времени так, чтобы решения полученной системы имели фиксированный период, не зависящий от $c$ (например, равный 2л).

Обратим внимание на формулу (1.24). Она показывает, что если сделать замену
$$t=\frac{\tau }{\lambda }(1+c^2{h}_2+c^3{h}_3+\dots ),$$

то период колебаний по переменной $\tau$ будет равен $2\pi$. Сделав в системе уравнений (1.8) замену (3.12), получим
$$\begin{array}{l}\frac{dx}{d\tau }=[-\lambda y+X(x,y)]\frac{1+c^2{h}_2+c^3{h}_3+\dots }{\lambda },\\ \frac{dy}{d\tau }=[\lambda x+Y(x,y)]\frac{1+c^2{h}_2+c^3{h}_3+\dots }{\lambda }.\end{array}\}$$

Так как правые части системы (3.13) мы умножили на аналитические функции параметра $c$, то решения этой системы, так же как и системы (1.8), аналитические по $c$ и для любого достаточно малого $|c|$ периодические по $\tau$. Но период по независимой переменной теперь уже фиксирован, он равен $2\pi$.

Периодические решения системы (3.13) будем искать в виде рядов
$$x=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{c}^k{x}^{(k)}(\tau ),y=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{c}^k{y}^{(k)}(\tau ).$$

Подставим ряды (3.14) в систему уравнений (3.13) и сравним коэффициенты при одинаковых степенях параметра с. Функции

$x^{(1)}(\tau )$ и $y^{(1)}(\tau )$ будут удовлетворять следующей системе уравнений:
$$\frac{d{x}^{(1)}}{d\tau }=-y^{(1)}(\tau ),\frac{d{y}^{(1)}}{d\tau }=x^{(1)}(\tau ).$$

В самом деле, функции $X$ и $Y$, будучи аналитическими функциями своих переменных, таковы, что их разложение начинается с членов второго порядка малости. Следовательно, при подстановке в эти функции рядов (3.14) функции $X$ и $Y$ не будут содержать членов, линейных относительно c. Начальные значения для системы (3.13) определены равенствами (1.13)
$$t=0:x=\ddot{c},y=0.$$

Следовательно, функции $x^{(1)}$ и $y^{(1)}$ будут соответствовать следующим начальным условиям:
$$\tau =0:x^{(1)}=1,y^{(1)}=0.$$

Функции $x^{(2)}$ и $y^{(2)}$ будут удовлетворять системе уравнений
$$\begin{array}{l}\frac{d{x}^{(2)}}{d\tau }=-y^{(2)}+\frac{1}{\lambda }{X}^{(2)},\\ \frac{d{y}^{(2)}}{d\tau }=x^{(2)}+\frac{1}{\lambda }{Y}^{(2)},\end{array}\}$$

где $X^{(2)}$ и $Y^{(2)}$ — квадратичные члены разложения функций $X$ и $Y$ по степеням параметра $c$. Так как $X$ и $Y$ — аналитические функции переменных $x$ и $y$, причем их разложение начинается с квадратичных членов, то $X^{(2)}$ и $Y^{(2)}$ являются квадратичными формами переменных $x^{(1)}$ и $y^{(1)}$.

Точно так же каждая пара функций $x^{(k)}$ и $y^{(k)}$, входящая в разложение (3.14), определяется системой уравнений
$$\begin{array}{l}\frac{d{x}^{(k)}}{d\tau }=-y^{(k)}+\frac{1}{\lambda }{X}^{(k)}-h_{k-1}{y}^{(1)},\\ \frac{d{y}^{(k)}}{d\tau }=x^{(k)}+\frac{1}{\lambda }{Y}^{(k)}+h_{k-1}{x}^{(1)},\end{array}\}$$

причем функции $X^{(k)}$ и $Y^{(k)}$ будут содержать величины $x^{(j)}$ и $y^{(j)}$ только тех номеров $j$, которые меньше чем $k$.

Кроме того, функции $X^{(k)}$ и $Y^{(k)}$ будут содержать величины $h_j$, причем $j=2,3,\dots ,k-2$. Заметим, что величины $h$ входят в правые части (3.18) только уравнений относительно $x^{(s)}$ и $y^{(s)}$, для которых $s⩾3$ :
$$\begin{array}{l}\frac{d{x}^{(3)}}{d\tau }=-y^{(3)}+\frac{1}{\lambda }{X}^{(3)}-h_2{y}^{(1)},\\ \frac{d{y}^{(3)}}{d\tau }=x^{(3)}+\frac{1}{\lambda }{Y}^{(3)}+h_2{x}^{(1)}\end{array}\}$$

и т. д

Из условий (1.13) следует, что функции $x^{(k)}$ и $y^{(k)}$ при $k>1$ удовлетворяют начальным условиям
$$x^{(k)}(0)=0,y^{(k)}(0)=0.$$

Вернемся снова к уравнениям (3.13). Хотя числа $h_i$ нам неизвестны заранее, но они на основании теоремы Ляпунова (п. 8 § 1 этой главы) определяются однозначно для данной системы и не зависят ни от параметра $c$, ни от начальных условий.

Далее члены рядов (3.14) также определяются однозначно, причем $x^{(k)}(\tau )$ и $y^{(k)}(\tau )$ — периодические функции переменного $\tau$ периода $2\pi$. В самом деле, $x(\tau )$ и $y(\tau )$ — периодические функции, следовательно,
$$\begin{array}{l}\mathrm{\Sigma }{c}^k{x}^{(k)}(\tau +2\pi )\equiv x(\tau +2\pi )=x(\tau )\equiv \mathrm{\Sigma }{c}^k{x}^{(k)}(\tau ),\\ \mathrm{\Sigma }{c}^k{y}^{(k)}(\tau +2\pi )\equiv y(\tau +2\pi )=y(\tau )\equiv \mathrm{\Sigma }{c}^k{y}^{(k)}(\tau ).\end{array}\}$$

Так как функции $x^{(k)}$ и $y^{(k)}$ не зависят от параметра $c$, а равенства (3.21) справедливы для любого малого $c$, то
$$x^{(k)}(\tau +2\pi )=x^{(k)}(\tau ),y^{(k)}(\tau +2\pi )=y^{(k)}(\tau ).$$

Таким образом, мы можем утверждать заранее, что функции $x^{(k)}(\tau )$ и $y^{(k)}(\tau )$, которые определяются как решение задачи Коши (3.20) для системы уравнений (3.18), будут периодическими функциями времени периода $2\pi$. С другой стороны, уравнения (3.18) относятся к виду (2.10), где
$$F_1=\frac{1}{\lambda }{X}^{(k)}-h_{k-1}{y}^{(1)},F_2=\frac{1}{\lambda }{Y}^{(k)}+h_{k-1}{x}^{(1)}$$

являются периодическими функциями времени, поскольку они определяются периодическими функциями $x^{(1)},\dots ,x^{(k-1)}$, $y^{(1)},\dots ,y^{(k-1)}$. Мы установили, что система вида (2.10) имеет периодическое решение тогда и только тогда, когда функции $F_i$ удовлетворяют условиям (2.12). На этом основании можно сформулировать следующее вспомогательное утверждение: функции $X^{(k)},Y^{(k)}$ и числа $h_{k-1}$ всегда удовлетворяют условиям
$$\begin{array}{rl}{\int }_0^{2\pi }{F}_1\cos tdt+{\int }_0^{2\pi }{F}_2\sin tdt& \equiv \frac{1}{\lambda }{\int }_0^{2\pi }\{(X^{(k)}-\lambda h_{k-1}{y}^{(1)})\cos t+\\ & +(Y^{(k)}+\lambda h_{k-1}{x}^{(1)})\sin t\}dt=0,\\ {\int }_0^{2\pi }{F}_2\cos tdt-{\int }_0^{2\pi }{F}_1\sin tdt& \equiv \frac{1}{\lambda }{\int }_0^{2\pi }\{(Y^{(k)}+\lambda h_{k-1}{x}^{(1)})\cos t-\\ & -(X^{(k)}-\lambda h_{k-1}{y}^{(1)})\sin t\}dt=0.\end{array}\}$$