В предыдущем параграфе мы рассмотрели уравнение (1.1)
\[
\ddot{y}+\lambda^{2} \omega^{2}(t) y=0
\]

при условии, что $\omega^{2}(t)$ (которая может быть как положительной, так и отрицательной функцией времени) сохраняет знак для изучаемого промежутка времени. Для обоих частных решений этого уравнения мы вывелг. приближенные формулы (1.5). Таким образом, мы научились находить приближенное представление для общего решения уравнения (1.1). Далее мы доказали, что это решение носит асимптотический характер: оно стремится к точному при $\lambda \rightarrow \infty$. Одновременно была дана оценка остаточного члена; мы показали, что он имеет порядок $O(1 / \lambda)$. Этот параграф будет посвящен изложению алгоритмов, позволяющих отьскивать решения с произвольной точностью.

Вернемся снова к уравнению (1.1); его решение мы искали в форме
\[
y=\exp \left\{\lambda \int_{0}^{t} \mu(t) d t\right\} \cdot z(t, \lambda),
\]

где $\mu$ – корень «характеристического уравнения»
\[
\mu^{2}+0^{2}=0 .
\]

Выберем определенное значение корня $\mu$, например положим $\mu=+i \omega$. Тогда для функции $z$ получим уравнение (см. (1.3))
\[
\ddot{z}+2 i \omega \hat{\lambda} \dot{z}+i \lambda \dot{\omega} z=0 .
\]

Естественно попытаться отыскать решение этого уравнения в виде ряда по обратным степеням параметра $\lambda$
\[
z(t, \lambda)=z_{0}(t)+\lambda^{-1} z_{1}(t)+\lambda^{-2} z_{2}(t)+\ldots
\]

Подставляя ряд (2.3) в уравнение (2.2) и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $\lambda$, получаем следующие уравнения для определения неизвестных функций $z_{i}(t)$ :
\[
\left.\begin{array}{l}
2 \omega(t) \dot{z}_{0}+\dot{\omega} z_{0}=0, \\
2 \omega(t) \dot{z}_{1}+\dot{\omega} z_{1}=i \ddot{z}_{0}, \\
\cdot . . . . . . . \\
2 \omega(t) \dot{z}_{s}+\dot{\omega} z_{s}=i \ddot{z}_{s-1} \\
. . . . . . . . .
\end{array}\right\}
\]

Интегрируя первое из уравнений системы (2.4), находим
\[
z_{0}=C \omega^{-1 / 2},
\]

где $C$ – произвольная постоянная.
Используя метод вариации постоянной, находим решение второго уравнения системы (2.4)
\[
z_{1}(t)=C \omega^{-1 / 2}\left[D_{0}+\frac{i}{2} \int_{0}^{t} \omega^{-1 / 2} \frac{d^{2}}{d t^{2}} \omega^{-1 / 2} d t\right],
\]

где $D_{0}$ – новая произвольная постоянная, и т. д.
Таким образом, частное решение, соответствующее корню $\mu+i \omega$, можно представить в виде
\[
\begin{array}{l}
y^{(1)}(t)=\frac{C^{(1)}}{\sqrt{\omega(t)}}\left[1+\frac{1}{\lambda}\left(D_{0}^{(1)}+\frac{i}{2} \int_{0}^{1} \omega^{-1 / 2} \frac{d^{2}}{d t^{2}} \omega^{-1 / 2} d t\right)+\right. \\
\left.+\frac{1}{\lambda^{2}}(\ldots)+\ldots\right] \exp \left\{i \lambda \int_{0}^{t} \omega(t) d t\right\} .
\end{array}
\]

Легко проверить, что частное решение уравнения (1.1), соответствующее второму корню характеристического уравнения, имеет следующее представлениє:
\[
\begin{aligned}
y^{(2)}(t)=\frac{C^{(2)}}{\sqrt{\omega(t)}}[1+ & \frac{1}{\lambda}\left(D_{0}^{(2)}-\frac{i}{2} \int_{0}^{1} \omega^{-1 / 2} \frac{d^{2}}{d t^{2}} \omega^{-1 / 2} d t\right)+ \\
& \left.+\frac{1}{\lambda^{2}}(\ldots)+\ldots\right] \exp \left\{-i \lambda \int_{0}^{t} \omega(t) d t\right\} .
\end{aligned}
\]

Выражения (2.6) и (2.5) содержат «дополнительные» произвольные постоянные $D_{i}^{(k)}$, которые возникают при интегрировании систем уравнений (2.4). Этими постоянными мы можем распорядиться по нашему усмотрению, поскольку каждой совокупности этих параметров будет отвечать свое частное решение, т. е. ряды (2.5) и (2.6) будут асимптотическими представлениями того или другого решения уравнения (1.3) в зависимости от значений постоянных $D_{i}^{(k)}$. Не ограничивая общности, мы можем принять их равными нулю.

Составим еще выражение для общего интеграла уравнения (1.1) для случая $\omega^{2}>0$. При этом мы заменим
\[
\exp \left\{ \pm i \lambda \int \omega d t\right\}=\cos \lambda \int \omega d t+i \sin \lambda \int \omega d t
\]

и введем новые постоянные $A=C_{1}+C_{2}$ и $B=i\left(C_{1}-C_{2}\right)$. Тогда
\[
\begin{aligned}
y & =\frac{A}{\sqrt{\omega}}\left\{\cos \lambda \int_{0}^{t} \omega d t-\frac{1}{2 \lambda} \sin \lambda \int_{0}^{t} \omega d t \int_{0}^{t} \omega^{-1 / 2} \frac{d^{2}}{d t^{2}} \omega^{-1 / 2} d t\right\}+ \\
& +\frac{B}{\sqrt{\omega}}\left\{\sin \lambda \int_{0}^{t} \omega d t+\frac{1}{2 \lambda} \cos \lambda \int_{0}^{t} \omega d t \int_{0}^{t} \omega^{-1 / 2} \frac{d^{2}}{d t^{2}} \omega^{-1 / 2} d t\right\}+O\left(\frac{1}{\lambda^{2}}\right) .
\end{aligned}
\]

Точно так же при помощи формул (2.6) может быть построено общее решение этого уравнения для случая $\omega^{2}<0$. Для этого в этих формулах достаточно принять $\omega=i \psi$, где $\psi=|\omega|$.

Формула (2.7) дает приближенное решение уравнения (1.1) уже с большей точностью, чем WBKJ-решения. Его погрешность имеет порядок $O\left(\frac{1}{\lambda^{2}}\right)$. Рассматривая следующие уравнения системы (2.4), мы можем получить решения, погрешность которых будет иметь еще более высокий порядок.
Рассмотрим теперь несколько более общий случай

где
\[
\ddot{y}+\lambda^{2} F(t, \lambda) y=0,
\]
\[
F(t, \lambda)=f_{0}(t)+\frac{1}{\lambda} f_{1}(t)+\ldots
\]

Ниже мы столкнемся с одним важным применением уравнения (2.8). ГІодобному тому, как мы это делали в предыдущем пункте, частное решение уравнения (2.8) будем искать в виле
\[
y(t, \lambda)=\exp \left\{\lambda \int_{0}^{t} \mu(t) d t\right\}\left(z_{0}(t)+\frac{1}{\lambda} z_{1}(t)+\ldots\right),
\]

где $\mu(t)$ – один из двух корней уравнения
\[
\mu^{2}(t)+f_{0}(t)=0,
\]

которое мы условились называть характеристическим. Итак,
\[
\mu(t)= \pm i \sqrt{f_{0}(t)} .
\]

Подставляя разложение (2.9) в уравнение (2.8), получим следующие уравнения для определения функций $z_{0}(t), z_{1}(t)$ и т. д.:
\[
\left.\begin{array}{l}
\left(\mu^{2}+f_{0}(t)\right) z_{0}=0 \\
\left(\mu^{2}+f_{0}(t)\right) z_{1}=-\left[2 \dot{z}_{0} \mu+\dot{\mu} z_{0}+f_{1} z_{0}\right], \\
\left(\mu^{2}+f_{0}(t)\right) z_{2}=L z_{1} \\
\text {. . . . . . . . . . . . }
\end{array}\right\}
\]

где через $L z_{i}$ обозначен дифференциальный оператор первого порядка относительно функций $z_{i}$. Коэффициенты этого выражения являются известными функциями времени: они определяются предыдущими приближе:иями.

Рассмотрим первое из уравнений системы (2.10). Так как $\mu^{2}+f_{0}=0$, то, для того чтобы это уравнение имело смысл, выражение, стоящее в правой части, также должно обращаться в нуль, т. е. функция $\dot{z}_{0}$ должна удовлетворять дифференциальному уравнению
\[
2 \dot{z}_{0} \mu+\dot{\mu} z_{0}+f_{1} z_{0}=0 .
\]

Это уравнение отличается от первого из уравнений системы (2.4) слагаемым $f_{1} z_{0}$. Интегрируя (2.11), получим
\[
z_{0}(t)=\frac{C}{\sqrt{|\mu|}} \exp \left\{-\frac{1}{2} \int_{0}^{t} \frac{f_{1}(t)}{\mu(t)} d t\right\} .
\]

Функция $z_{1}(t)$ будет определена из второго уравнения системы $(2.10)$, которое нам дает
\[
L z_{1}=0 .
\]

Уравнение (2.13) – это линейное дифференциальное уравнение первого порядка с переменными коэффициентами, которые полностью определяются функциями $f_{0}, f_{1}$ и $f_{2}$.

Этот процесс можно продолжать неограниченно, и любой член ряда (2.9) может быть определен. Таким образом, каждому из корней характеристического уравнения мы можем поставить в соответствие ряд (2.9), который определяет формальное решение. Этот ряд определен не единственным образом. Поскольку функции $z_{i}$ определяются как решения дифференциальных уравнений, эти ряды содержат произвольные постоянные, которыми можно распорядиться как угодно.

Изложенный метод построения асимптотических решений пригоден в равной степени для изучения уравнений, имеющих и колеблющиеся решения ( $f_{0}>0$ ) и неколеблющиеся ( $f_{0}<0$ ).