Перейдем теперь к изучению системы второго порядка, содержащей большой параметр
\[
\left.\begin{array}{l}
\dot{y}_{1}+a_{11}(t, \lambda) y_{1}+a_{12}(t, \lambda) y_{2}=0, \\
\dot{y}_{2}+a_{21}(t, \lambda) y_{1}+a_{22}(t, \lambda) y_{2}=0 .
\end{array}\right\}
\]

Предполагается, что функции $a_{i j}$ представимы в следующей форме:
\[
a_{i j}(t, \lambda)=\lambda a_{i j}^{(\mathrm{l})}(t)+a_{i j}(t)+\ldots+\lambda^{-s} h_{i j}(t, \lambda),
\]

где $h_{i j}$ – функция ограниченная при $|\lambda| \rightarrow \infty$.
Уравнение
\[
\left|\begin{array}{cc}
a_{11}^{(1)}+\mu & a_{12}^{(1)} \\
a_{21}^{(1)} & a_{22}^{(1)}+\mu
\end{array}\right|=0
\]

будем называть характеристическим уравнением системы (2.22). Его корни $\mu_{1}(t)$ и $\mu_{2}(t)$ будем считать не равными нулю и различными на всем интервале $[0, T]$, на котором проводятся исследования.

Частные решения системы (2.22) будем искать в виде
\[
\left.\begin{array}{l}
y_{1}=\exp \left\{\lambda \int_{0}^{t} \mu(t) d t\right\} \cdot z_{1}(t, \lambda), \\
y_{2}=\exp \left\{\lambda \int_{0}^{t} \mu(t) d t\right\} \cdot z_{2}(t, \lambda)
\end{array}\right\}
\]

где $\mu(t)$ – один из корней уравнения (2.23), а $z_{1}$ и $z_{2}$ мы представляем в форме рядов
\[
\left.\begin{array}{l}
z_{1}(t, \lambda)=z_{1}^{(0)}(t)+\lambda^{-1} z_{1}^{(1)}+\ldots, \\
z_{2}(t, \lambda)=z_{2}^{(0)}(\lambda)+\lambda^{-1} z_{2}^{(1)}+\ldots
\end{array}\right\}
\]

Подставляя выражения (2.24) и (2.25) в систему уравнений (2.22) и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях параметра $\lambda$, приходим к следующим системам уравнений для определения функций $z_{i}^{(n)}$ :
\[
\left.\begin{array}{c}
\left(a_{11}^{(1)}+\mu\right) z_{1}^{(0)}+a_{12}^{(1)} z_{2}^{(0)}=0, \\
a_{21}^{(1)} z_{1}^{(0)}+\left(a_{22}^{(1)}+\mu\right) z_{2}^{(0)}=0 .
\end{array}\right\}
\]

Рассмотрим систему (2.26). Так как $\mu$-корень уравнения (2.23), то она представляет собой систему линейных однородных алгебраических уравнений, определитель которой равен нулю. Следовательно, она можег допускать ненулевые решения, причем одна из неизвестных, например функция $z_{1}^{(0)}$, может быть задана произвольно, тогда функция $z_{2}^{(0)}$ определяется однозначно
\[
z_{2}^{(0)}=k z_{1}^{(0)},
\]

где
\[
k=-\frac{a_{11}^{(1)}+\mu}{a_{12}^{(1)}} .
\]

Таким образом, система (2.26) не позволяет определить функцию $z_{1}^{(0)}$, которая в этом приближении остается произвольной.

Рассмотрим теперь систему (3.27), представляющую собой систему двух неоднородных уравнений относительно $z_{1}^{(1)}$, причем определитель системы равен нулю. Для ее разрешимости необходимо и достаточно, чтобы между величинами, стоящими в правых частях системы (2.27), была такая же зависимость, как и между элементами строк матрицы (2.23). Другими словами, для ее разрешимости необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы был равен рангу матрицы (2.23). Это условие можно записать в следующем виде:
\[
\frac{d z_{1}^{(0)}}{d t}+a_{11}^{(0)} z_{1}^{(0)}+a_{12}^{(0)} z_{2}^{(0)}=C\left(\frac{d z_{2}^{(0)}}{d t}+a_{21}^{(0)} z_{1}^{(0)}+a_{22}^{(0)} z_{2}^{(0)}\right),
\]

где
\[
C=\frac{a_{11}^{(1)}+\mu}{a_{21}}=\frac{a_{12}^{(1)}}{a_{22}^{(1)}+\mu} .
\]

Принимая во внимание равенство (2.29), преобразуем уравнение $(2.30)$ :
\[
(1-C k) \frac{d z_{1}^{(0)}}{d t}=F_{0}(t) z_{1}^{(0)},
\]

где
\[
F_{0}(t)=C \dot{k}+C a_{21}^{(0)}-a_{11}^{(0)}+k\left(C a_{22}^{(0)}-a_{12}^{(0)}\right) .
\]

Таким образом, функция $z_{1}^{(0)}$ удовлетворяет однородному линейному дифференциальному уравнению первого порядка и, следовательно, представима в форме квадратуры
\[
z_{1}^{(0)}=C_{1}^{(0)} \exp \left\{\int_{0}^{t} \frac{F_{0}(t) d t}{1-C_{k}}\right\},
\]

где $C_{1}^{(0)}$ – произвольная постоянная.
Итак, обе функции $z_{1}^{(0)}$ и $z_{2}^{(0)}$ определены. Эти функции дают «нулевой член» асимптотического ряда.

Определив функцию $z_{1}^{(0)}$ по формуле (2.32), мы тем самым обеспечим разрешимость системы (2.27). Так как определитель этой системы равен нулю, то одна из искомых величин (например, $z_{1}^{(1)}$ ) остается неопределенной.

Повторяя аналогичные рассуждения для уравнения следуњщих приближений, мы убеждаемся в возможности определить любой член разложения (2.25). При этом следует иметь в виду, что функции $z_{i}^{(k)}$ находятся как решения дифференциального уравнения и, следовательно, будут содержать произвольные постоянные. Так как функции $C, k$ и экспоненциальный множитель в (2.24) зависят от значения $\mu$, то двум различным значениям корня характеристического уравнения будут отвечать два различных частных решения системы (2.22). Следовательно, как и в случае одного уравнения второго порядка, данный метод позволяет построить общий интеграл, т. е. составить матрицу фундаментальных решений.