Изучим задачу в линейной постановке, для этого условимся считать угол нутании $v$ (угол, заключенный между векторами $\boldsymbol{z}^{0}$ и $\boldsymbol{\xi}^{0}$ ) малої величиной первого порядка малости
\[
v=O(\varepsilon) \text {. }
\]

Тогда величины $x$ и $y$ – проекции $\xi^{0}$ на оси $O x$ и $O y-$ мы также должны считать величинами тервого порядка малости (см. рис. 42 , на котором изображена плоскость, проходящая через вершину $D$ вектора $\xi^{0}$ перпендикулярно оси $\mathrm{Oz})$
\[
x=O(\varepsilon), \quad y=O(\varepsilon) .
\]

Отсюда следует, что
\[
z=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}=1-O\left(\varepsilon^{2}\right) .
\]

Производные $\dot{x}$ и $\dot{y}$ также будем считать малыми первого порядка. Тогда
\[
\dot{z}=\frac{\partial z}{\partial x} \dot{x}+\frac{\partial z}{\partial y} \dot{y}=O\left(\varepsilon^{2}\right) .
\]

Рис. 42.
Сохраняя в уравнениях (6.12) члены первого порядка малости, мы приходим к следующей системе двух линейных дифференциальных уравнений:
\[
\left.\begin{array}{r}
-A \ddot{y}+C \omega \dot{x}+x y=0, \\
A \ddot{x}+C \omega y-x x=0 .
\end{array}\right\}
\]

Система уравнений (6.13) является приближенной, описывая движение гироскопа при малых углах нутации. Если угол нутации равен нулю, то говорят о спящем положении волчка. В этом случае внешний момент равен нулю. Следовательно, уравнения (6.13) описывают движение гироскопа в окрестности его «спящего положения».

Система уравнений (6.13) – это система уравнений четвертого порядка. Однако она сводится к одному уравнению второго порядка, но с комплексными коэффициентами и относительно некоторой комплекснозғачной функции действительного аргумента.
Введем новое неизвестное
\[
\zeta=x+i y \quad(i=\sqrt{-1}) .
\]

Умножим первое из уравнений системы (6.13) на $i$ и сложим со вторым

Ho
\[
A \dot{\zeta}+C \omega(\dot{y}-i \dot{x})+x \zeta=0 .
\]
\[
-i \dot{x}+\dot{y}=-i(\dot{x}+i \dot{y})=-i \zeta,
\]

и поэтому окончательно система (6.13) приводится к следующему уравнению второго порядка:
\[
A \dot{\zeta}-i C_{\omega} \xi-x \zeta=0 .
\]

Обычно вводятся обозначения
\[
\frac{x}{A}=n^{2}, \quad \frac{C}{2 A}=e^{2}
\]

и уравнение (4.14) записывается в следующем виде:
\[
\ddot{\zeta}-2 i e \omega \xi-n^{2} \zeta=0 .
\]

Итак, поставленная задача сведена к изучению уравнения (6.15).