Особенность задачи отыскания резонансных режимов состоит в том, что порождающее решение заранее неизвестно. Множество решений порождающего уравнения образует семейство, зависящее от нескольких параметров. (в случае, который рассматривался в п. 3 этого параграфа, семейство порождающих решений зависело от двух параметров). В процессе решения задачи мы должны отыскать те значения параметров, которые определяют порождающие решения.
Рассмотрим одну специальную задачу, которая иногда встречается в приложении: определить периодические решения уравнения
\[
\ddot{x}=\varepsilon \varphi(x, \dot{x}, t, \varepsilon),
\]
где $\varphi$ – периодическая функция времени периода $2 \pi$, аналитическая по переменным $x, \dot{x}$ и $\varepsilon$. Подставим задачу отыскания периодического решения уравнения (7.33) периода $2 \pi$.
Общее решение порождающего уравнения
\[
\ddot{x}=0
\]
имеет вид
\[
x=M+N t .
\]
И, следовательно, только при $N=0$ решение (7.35) будет периодическим периода $2 \pi$. Таким образом, функции, среди которых мы можем разыскивать порождающие решения уравнения (7.35), будут образовывать однопараметрическое семейство
\[
x^{(0)}=M \text {. }
\]
В этом и состоит основное отличие рассматриваемой задачи от задачи, которая изучалась в предыдущих пунктах этого параграфа. Однако, несмотря на это, методы, развитые ранее, могут быть использованы для отыскания периодического решения уравнения (7.33)
Положим
\[
x=M+\varepsilon x^{(1)}(t)+\varepsilon^{2} x^{(2)}(t)+\ldots
\]
Функция $x^{(1)}$ будет удовлетворять дифференциальному уравнению
\[
\ddot{x}^{(1)}=\varphi(t, M, 0,0),
\]
где $\varphi$ – периодическая функция $t$.
Для того чтобы уравнение (7.36) допускало периодическое решение периода $2 \pi$, необходимо и достаточно, чтобы
\[
\stackrel{\rightharpoonup}{\varphi}=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \varphi(t, M, 0,0) d t=0 .
\]
В самом деле, пусть $\bar{\varphi}
eq 0$, тогда функция $\varphi$ может быть разложена в ряд Фурье вида
\[
\varphi=\bar{\varphi}+\sum_{k=1}^{\infty}\left(a_{k} \cos k t+b_{k} \sin k t\right),
\]
где $\bar{\varphi}$ – некоторая постоянная, отличная от нуля, и, следовательно, общее решение уравнения (7.36) будет иметь вид
\[
x^{(1)}=x^{(1)}(0)+c_{1}(t)+\frac{\bar{\varphi} t^{2}}{2}+\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{2}}\left(b_{k} \sin k t-a_{k} \cos k t\right),
\]
т. е. оно будет содержать вековые слагаемые независимо от выбора начальных условий.
Итак, для существования периодического решения уравнения (7.36), а следовательно, и для существования периодического решения уравнения (7.33), аналитического по $\varepsilon$, необходимо, чтобы неизвестная постоянная $M$ была корнем уравнения (7.37).
Из вида общего решения (7.38) сразу следует, что условие $\bar{\varphi}=0$ достаточно для существования периодического решения уравнения (7.34). В самом деле, мы всегда можем подобрать начальное условие $\dot{x}^{(1)}(0)$
\[
\dot{x}^{(1)}(0)=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{b_{k}}{k},
\]
которое при любом $x^{(1)}(0)=M_{1}$ гарантирует условие $c_{1}=0$.
Итак, функция $x^{(1)}$ определяется формулой
\[
x^{(1)}=M_{1}+\psi_{1}(t),
\]
где $\psi_{1}$ – периодическая функция времени требуемого периода, а $M_{1}$ – постоянная, которая должна быть определена в следующем приближении.
Составим теперь уравнение для определения $x^{(2)}(t)$
\[
\ddot{x}^{(2)}=\frac{\partial \varphi}{\partial x}\left[M_{1}+\psi_{1}(t)\right]+\frac{\partial \varphi}{\partial \dot{x}} \dot{\psi}_{1}+\frac{\partial \varphi}{\partial \varepsilon} .
\]
Производные $\partial \varphi / \partial x$ и $\partial \varphi / \partial \dot{x}$ вычислены при условии, что $x=M$, $\varepsilon=0$, где $M$ – корень уравнения (7.37):
\[
\bar{\varphi}(M)=0 .
\]
Для существования периодического решения уравнения $x^{(2)}$ необходимо и достаточно, чтобы
\[
\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi}\left\{\frac{\partial \varphi}{\partial x}\left[M_{1}+\psi_{1}(t)\right]+\frac{\partial \varphi}{\partial \dot{x}} \dot{\psi}_{1}+\frac{\partial \varphi}{\partial \varepsilon}\right\} d t=0 .
\]
Легко видеть, что уравнению (7.41) можно придать следующий вид:
\[
M_{1} \frac{\partial \bar{\varphi}}{\partial M}=F_{1},
\]
где
\[
F_{1}=-\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi}\left(\frac{\partial \varphi}{\partial x} \psi_{1}+\frac{\partial \varphi}{\partial \dot{x}} \dot{\psi}_{1}+\frac{\partial \varphi}{\partial \varepsilon}\right) d t .
\]
Уравнение (7.40) – это линейное уравнение относительно неиз: вестной постоянной $M_{1}$. Если $\partial \tilde{\varphi} / \partial M
eq 0$, то оно имеет единственное решение. Условие $\partial \bar{\varphi} / \partial M
eq 0$ означает, что постоянная $M$ является простым корнем уравнения (7.37). Функция $x^{(2)}$ в этом случае имеет вид
\[
x^{(2)}=M_{2}+\psi_{2}(t),
\]
где $M_{2}$ – постоянная, которая определяется в следующем приближении, а $\psi_{2}(t)$ – периодическая функция.
Легко продолжить рассуждения и показать, что в любом приближении периодическое решение имеет вид
\[
x^{(k)}(t)=M_{k}+\psi_{k}(t),
\]
где $M_{k}$ – решение уравнения
\[
M_{k} \frac{\partial \bar{\varphi}}{\partial M}=F_{k},
\]
причем число $F_{k}$ определяется по первым $k-1$ приближениям. Для достаточно малых $\varepsilon$ ряды, которые представляют решение, сходятся.
Итак, мы пришли к следующему результату. Для существования периодического решения уравнения (7.33), аналитического по параметру в, необходимо и достаточно, чтобы уравнение
\[
\bar{\varphi}(M)=0
\]
имело простые корни.
Примечание. Изложенный метод без каких-либо изменений позволяет изучать периодические решения системы
\[
\ddot{x}_{i}=\varepsilon \varphi_{i}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}, t, \varepsilon\right)
\]
произвольного порядка, если функция $\varphi_{i}(i=1,2, \ldots, n)$ – аналитические функции по $\varepsilon, x_{i}$ и периодические функции по $t$ периода $2 \pi$.
