Покажем, как метод Ван-дерПоля может использоваться для отыскания автоколебательных режимов. Рассмотрим уравнение Ван-дер-Поля
\[
\ddot{z}+z=\varepsilon\left(1-b z^{2}\right) \dot{z} .
\]

Это уравнение мы уже рассматривали в предыдущей главе методом Пуанкаре. Применим теперь метод Ван-дер-Поля для отыскания его стационарных решений. Согласно изложенной теории для этого нам достаточно выразить функцию $\bar{\varphi}_{1}(x)$
\[
\bar{\varphi}_{1}(x)=-\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi}\left(1-b x^{2} \cos ^{2} y\right) x \sin ^{2} y d y
\]

и определить корни уравнения
\[
\bar{\varphi}_{1}(x)=0 .
\]

Вычисляя (1.27), находим
\[
\bar{\varphi}_{1}(x)=\frac{x}{2}\left(\frac{b x^{2}}{4}-1\right) .
\]

Корни уравнения (1.28) будут
\[
x_{1}=0, \quad x_{2}=2 \sqrt{\frac{1}{b}} .
\]

Таким образом, уравнение Ван-дер-Поля допускает при $b>0$ два стационарных режима: состояние покоя $x \equiv 0$ и автоколебательный режим с амплитудой
\[
x_{2}=2 \sqrt{\frac{1}{b}} .
\]

Если $b<0$, то единственным стационарным решением будет состояние покоя $x \equiv 0$.

Аналогичный результат мы установили ранее, используя метод Пуанкаре. Метод Ван-дер-П̆ля позволяет получить тот же результат, но более экономным способом.