В качестве простейшего примера рассмотрим вращательные движения математического маятника

В этом случае
и, следовательно,
\[
\ddot{z}+\sin z=0 .
\]
\[
f(z)=\sin z
\]
\[
\Psi(z)=1-\cos z, \quad \bar{\Psi}=1, \quad \Phi(z)=z-\sin z .
\]

Используя эти выражения, сосгавим выражение (7.28)
\[
z=\lambda t+\frac{1}{\lambda^{2}} \sin \lambda t+O\left(\frac{1}{\lambda^{3}}\right) .
\]

Решение уравнения (7.29) выражается через эллиптические функции, поэтому асимптотику уравнения (7.30) можно построить, опираясь на свойства эллиптических функций.

Примечание. Если правая часть уравнения (7.1) – аналитическая функция $z$, то приближенное решение в случае больших энергий может быть построено и другими способами. Например, полагая в уравнении (7.1)
\[
z=\Omega t+\alpha, \quad \Omega t=s, \quad \frac{1}{\Omega}=\varepsilon,
\]

мы приведем его к виду
\[
\frac{d^{2} \alpha}{d s^{2}}=-\mathrm{e}^{2} f(s+\alpha) .
\]

Правая часть данного уравнения зависит от малого параметра $\varepsilon$, причем эта зависимость аналитическая, поэтому его решение можно искать в виде ряда по степеням $\varepsilon$, опираясь на теорему Пуанкаре. Применяя подобные рассуждения к уравнению (7.29), мы получим
\[
\begin{array}{l}
z=\Omega t+\sin \Omega t\left\{\frac{1}{\Omega^{2}}-\frac{5}{16 \Omega^{2}}+\ldots\right\}+ \\
\quad+\sin 2 \Omega t\left\{\frac{1}{8 \Omega^{4}}+\ldots\right\}+\sin 3 \Omega t\left\{\frac{1}{48 \Omega^{6}}+\ldots\right\}+\ldots
\end{array}
\]

Первые члены разложений (7.30) и (7.31) совпадают.