Решение системы (6.33) можно представить в виде
\[
x=\tilde{x}+x^{*}, \quad y=\tilde{y}+y^{*},
\]
где $\tilde{x}$ и $\tilde{y}$ — решение однородной системы, определяемое формулами (6.23) и (6.24); $x^{*}$ и $y^{*}$ — частное решение неоднородной системы (6.33). Для отыскания этих функций снова можно использовать метод асимптотического интегрирования. В § 4 этой главы были даны приближенные формулы для определения частных решений. Используя эти формулы, получим
\[
x^{*}=-\frac{A \tilde{\theta}}{\varkappa(t)}, \quad y^{*}=-\frac{C \omega \theta}{\varkappa(t)} .
\]
Дальнейшее исследование уравнений баллистики ведется обычно по следующей схеме. Уравнения (6.25) выписываются в проекциях на оси неподвижной системы координат $O X Y Z$ и на оси подвижной системы координат охуz.
Система скалярных уравнений имеет при этом следующий вид:
\[
\begin{array}{l}
\frac{d v}{d t}=-g \sin \theta-\frac{R(x, y, X)}{m}, \\
\frac{d \theta}{d t}=-\frac{g \cos \theta}{v}+\frac{Q_{1}(x, y, X)}{m v}, \\
\frac{d \psi}{d t}=\frac{Q_{2}(x, y, X)}{m v}, \quad \frac{d X}{d t}=v \sin \theta, \quad \frac{d Y}{d t}=v \sin \psi, \\
\frac{d Z}{d t}=v \sqrt{1-\left(\sin ^{2} \theta+\sin ^{2} \psi\right)}=v \sqrt{\cos ^{2} \theta-\sin ^{2} \psi,}
\end{array}
\]
где $X, Y, Z$ — координаты центра массы в инерциальной системе координат. Первые три уравнения этой системы носят название динамических уравнений: они описывают изменение вектора $\boldsymbol{v}$ — скорости центра масс снаряда. Последние три уравнения носят название кинематических: они позволяют определить положение центра масс, если извесген вектор скорости.
В динамические уравнения входят функции $R, Q_{1}$ и $Q_{2} ; R$ сила лобового сопротивления, зависящая от квадрата угла нутации
\[
R=R_{0}+R^{*}\left(x^{2}+y^{2}\right),
\]
$Q_{1}$ и $Q_{2}$ — это составляющие вектора подъемной силы. С большой степенью точности их можно считать линейными функциями переменных $x$ и $y$
\[
\frac{Q_{1}}{m}=q x, \quad \frac{Q_{2}}{m}=q y .
\]
Предположим теперь, что в нашем распоряжении имеется решение основной задачи внешней баллистики и решение задачи об относительном движении около центра массы, т. е. функции $x$ и $y$, определенные формулами (6.34). Следующий этап решения общей задачи баллистики состоит в том, чтобы определить влияние относительного движения на траекторию центра массы. Этот вопрос подробно изучен в ряде книг*). Весьма общий подход к решению поставленной задачи предложен B. С. Пугачевым**). Решение может быть проведено также в рамках теории возмущений. Для этого достаточно принять
\[
\left.\begin{array}{l}
v=v^{0}+\Delta v, \quad \theta=\theta^{0}+\Delta \theta, \psi=\psi^{0}+\Delta \psi, \\
X=X^{0}+\Delta X, Y=Y^{0}+\Delta Y, Z=Z^{0}+\Delta Z .
\end{array}\right\}
\]
Подставим выражения (6.38i в систему уравнений (6.37) и линеаризуем эту систему, считая малыми величинами первого порядка все приращения $\Delta v, \Delta \theta, \Delta \psi, \Delta X, \Delta Y, \Delta Z$ и составляю. щие угла нутации — величины $x$ и $y$. Отбрасывая малые второго порядка, мы придем к системе линейных уравнений относительно этих переменных. Анализ полученных таким способом уравнений позволяет рассчитать влияние относительного движения врацающегося снаряда на его граекторню. Существуют разнообразные приближенные способы подобных расчетов. За всеми подробностями мы отсылаем читателя к специальным руководствам по баллистике, цитированным выше. Здесь мы сделаем только несколько замечаний.
*) См., например, Д. А. Вентцель, Внешняя балластика, М., 1940.
*) В. С. Пугачев, Обшая задача о движенин врацающегося артиллерийского снаряда в воздухе, Труды Военно-воздушной академии им. Жуковского, № 70 (1940).
Рассмотрим вначале вєличины $\Delta \theta$ и $\Delta \psi$; их можно представить в виде
\[
\left.\begin{array}{l}
\Delta \theta=\int_{0}^{t} K_{\theta}(t, \tau) x(\tau) d \tau, \\
\Delta \psi=\int_{0}^{t} K_{\psi}(t, \tau) y(\tau) d \tau,
\end{array}\right\}
\]
где $K_{\text {в }}$ и $K_{\psi}$-элементы матрицы Грина для линеаризованной системы. Функции $K_{\theta}$ и $K_{\psi}$ определяются только характером траектории в основной задаче внешней баллистики и не зависят от возмущений. Величины $x(t)$ и $y(t)$ в этих выражениях определяются формулами (6.34). Определив величины $\Delta \theta$ и $\Delta \psi$ при помощи формул типа (6.39), мы можем затем рассчитать величины $\Delta X, \Delta Y$ и $\Delta Z$, т. е. определить. полностью все эффекты, связанные с вращением снаряда.
В рамках изложенной теории может быть решен и еще один важный вопрос — какой должна выбираться угловая скорость собственного вращения снаряда. Во-первых, она должна быть достаточно велика, чтобы, во всяком случае, удовлетворить условию устойчивости, так как в противном случае снаряд начнет кувыркаться на траектории и его движение будет далеко от рассчетного. Однако угловая скорость не должна быть и особенно большой, так как в этом случае угловая скорость мәдленной прецессии будет столь мала, что среднее значение координат $x$ и $y$ будет иметь некоторые ненулевые составляющие и ось снаряда будет плохо следить за касательной к траектории.
Итак, мы видим, что асимптотические методы большого параметра являются естественным и очень эффективным средством для решения практических задач типа задач баллистики.
