Метод Г. В. Каменкова позволяет не только исследовать вопрос о существовании периодических решений, но и дает способ эффективного построения периодических решений. Покажем, как это можно сделать в простейшем случае простых корней уравнения (6.14).
Обозначим через $V^{*}$ корень уравнения (6.14) и корень уравнения
\[
L_{1}(V)+\mu L_{2}(V)+\ldots=0
\]
будем искать в виде ряда
\[
V=V^{*}+\mu V_{1}+\mu^{2} V_{2}+\ldots
\]
Тогда $V_{1}$ будет удовлетворять линейному алгебраическому уравнению
\[
V_{1} \frac{d L_{1}}{d V}=L_{2}\left(V^{*}\right)
\]
Производная в уравнении (6.16) вычислена для значения $V=V^{*}$. Так как $V^{*}$, по предположению, простой корень уравнения (6.14), то $d L_{1} / d V
eq 0$ и уравнение (6.16) однозначно разрешимо.
Легко убедиться в том, что и остальные слагаемые $V_{i}$ удовлетворяют уравнению типа (6.16)
\[
V_{i} \frac{d L_{1}}{d V}=\tilde{L}_{i}
\]
где $\mathscr{L}_{i}$ – некоторое известное число, зависящее от величин $V^{*}, V_{1}, \ldots, V_{i-1}$.
Итак, пусть с некоторой точностью мы определили корень уравнения (6.15). Обозначим его через $V^{* *}$
\[
V^{* *}=V^{*}+\sum_{i=1}^{n} V_{i} \mu^{i}
\]
Подставляя теперь выражение (6.17) в уравнения (6.5), мы получим с определенной точностью искомое периодическое решение
\[
r=V^{*}+\mu\left(V_{1}+V^{*} U_{1}^{(1)}+V^{* 2} U_{1}^{(2)}+\ldots\right)+\mu^{2}(\ldots)+\ldots,
\]
где коэффициенты $U_{i}^{(j)}(\theta)$ определяются формулами (6.12).
В заключение заметим, что уравнению (6.14) можно придать несколько иной вид. Рассмотрим интеграл
\[
I=\int_{0}^{\theta}\left[X_{1}(V \cos \theta, V \sin \theta) \cos \theta+Y_{1}(V \cos \theta, V \sin \theta) \sin \theta\right] d t .
\]
Согласно обозначениям, введенным в уравнениях (6:3), этот интеграл мы можем переписать в виде
\[
I=\int_{0}^{2 \pi} R_{1}(V, \theta) d \theta=\int_{0}^{2 \pi}\left\{V R_{1}^{(1)}(\theta)+V^{2} R_{1}^{(2)}(\theta)+\ldots+V^{m_{1}} R_{1}^{\left(m_{1}\right)}(\theta)\right\} d \theta
\]
или, принимая во внимание равенство (6.11),
\[
I=2 \pi\left(V_{1} g_{1}^{(1)}+V_{2} g_{1}^{(2)}+\ldots+V^{m_{1}} g_{1}^{\left(m_{1}\right)}\right)=2 \pi L_{1}(V) .
\]
Таким образом, уравнение (6.14) эквивалентно следующему:
\[
\int_{0}^{2 \pi}\left[X_{1}(V \cos \theta, V \sin \theta) \cos \theta+Y_{1}(V \cos \theta, V \sin \theta) \sin \theta\right] d \theta=0 \text {. }
\]
В следующей главе мы установим, что уравнение (6.15) нам даст значение стационарной амплитуды, если ее определять ме-
Рис. 18. тодом осреднения и ограничиться при этом первым приближением (приближением Ван-дер-Поля).
Идея метода Г. В. Каменкова имеет простой геометрический смысл. Мы уже знаем, что каждому постоянному значению величины $V$ в фазовой плоскости отвечает замкнутая кривая (рис. 18). Пусть мы имеем две такие кривые, отвечающие $V_{1}$ и $V_{2}<V_{1}$ и обладающие тем свойством, что производные $d V / d t$, вычисленные при $V=V_{1}$ и $V=V_{2}$ в силу уравнений (6.1) имеют разные знаки. Это означает, что фазювые траектории системы (6.1) пересекают внешний замкнутый контур извне внутрь, а внутренний контур изнутри во вге, как это показано стрелками на рис. 18. Тогда, согласно теореме Бенедиксона, существует по крайней мере один такой замкнутый контур $V=V^{* *}$, который является предельным циклом уравнения (6.1). Он лежит между контурами $V=V_{1}$ и $V=V_{2}$. На рис. 18 он показан пунктиром. Г. В. Каменков указал эффективный способ определения величины $V^{* *}$.
Итак, процедура расчета периодических решений в методе Каменкова состоит в решении трансцендентного уравнения (6.18), которое позволяет определить значение $V^{*}$, и вычислении квалратур (6.11) и (6.12).
В. данной книге мы рассмотрели только одну из задач, которая может быть изучена в рамках метода Г. В. Қаменкова, задачу расчета периодического решения в квазилинейных системах. Г.В. Каменков в своей статье, цитированной на стр. 100, рассмотрел еще целый ряд задач, в том числе задачу построения периодического решения в системах, близких к некоторой консервативной. Его метод позволяет также исследовать некоторые задачи теории неавтономных систем.
