Ряды (4.2), (4.5) и (4.6) в общем случае расходятся, однако они носят асимптотический характер и конечные отрезки этих рядов могут быть использованы для приближенного представления частных решений. Это утверждение легко доказывается для самого общего случая. Однако для того, чтобы не загромождать изложения, мы поступим так же, как и при исследовании однородной задачи, и проведем доказательство только для самого простого случая – уравнения (4.4). Итак, докажем следующую теорему.
Если функции $f(t)$ и $(t)$ достаточное количество раз дифференцируемь на отрезке $[0, T]$, кроме того, существует такая положительная постоянная $\alpha$, что для любых $t \in[0, T]$
\[
\omega(t) \geqslant \alpha,
\]
то уравнение (4.4) допускает частное решение вида
\[
y=\lambda^{s-2}\left(u_{0}(t)+\lambda^{-2} u_{1}(t)+\ldots+\lambda^{-n+2} u_{n-2}+\lambda^{-n} \eta(t, \lambda)\right),
\]
где функции и $u_{i}(t)$ определяются равенствами
\[
\left.\begin{array}{l}
u_{0}=\frac{f}{\omega^{2}}, \\
u_{1}=-\frac{1}{\omega^{2}} \frac{d^{2}}{d t^{2}}\left(\frac{f}{\omega^{2}}\right), \\
\ldots . . . . . . .
\end{array}\right\}
\]
а функция $\eta(\lambda, t)$ ограничена для любого $t \in[0, T] п р и ~ \lambda \rightarrow \infty$.
Для доказательства составим уравнение, которому удовлетворяет функция $\eta(\lambda, t)$. Подставляя ряд (4.8) в уравнение (4.4) и используя формулы (4.9), получим
\[
\ddot{\eta}+\lambda^{2} \omega^{2} \eta=\lambda^{2} \psi
\]
где
\[
\psi(t)=-\frac{d^{2} u_{n-2}}{d t^{2}} .
\]
Для доказательства теоремы нам достаточно показать, что любое частное решение уравнения (4.10) равномерно ограничено на отрезке $[0, T]$ при $\lambda \rightarrow \infty$.
Заметим, что функция $\psi(t)$ не зависит от $\lambda$ : она определяется полностью функциями $\omega, f$ и их производными. Следовательно, существует такая постоянная $\bar{\psi}>0$, что для любого $t \in[0, T]$
\[
|\psi(t)|<\bar{\psi} \text {. }
\]
Обозначим через $\Delta$ вронскиан обоих линейно независимых решений уравнения
Следовательно,
\[
\ddot{\eta}+\lambda^{2} \omega^{2} \eta=0 \text {. }
\]
\[
\Delta=\left|\begin{array}{ll}
\eta_{1} & \eta_{2} \\
\dot{\eta}_{1} & \dot{\eta}_{2}
\end{array}\right|
\]
Функции $\eta_{1}$ и $\eta_{2}$, согласно результатам предыдущих параграфов, имеют следующие представления:
\[
\left.\begin{array}{l}
\eta_{1}(t, \lambda)=\sin \left\{\lambda \int_{0}^{t} \omega d t\right\} \Phi_{1}(t, \lambda), \\
\eta_{2}(t, \lambda)=\cos \left\{\lambda \int_{0}^{t} \omega d t\right\} \Phi_{2}(t, \lambda),
\end{array}\right\}
\]
где функции. $\Phi_{1}$ и $\Phi_{2}$ ограничены при $\lambda \rightarrow \infty$.
Используя далее формулу Лагранжа, выпишем общее решение уравнения (4.10)
\[
\eta=\eta^{*}+\lambda^{2} \int_{0}^{t} \frac{1}{\Delta}\left(\eta_{1}(t) \eta_{2}(\tau)-\eta_{1}(\tau) \eta_{2}(t)\right) \psi(t) d t,
\]
где $\eta^{*}$ – решение однородного уравнения.
Принимая во внимание равенства (4.11), оценим величины, вхо,ящие в (4.12). Вычислим
\[
\Delta=\lambda\left(\frac{1}{\omega}+\lambda^{-1} F_{1}(t, \lambda)\right)
\]
где $F_{1}(t, \lambda)$ – функция, ограниченная при $\lambda \rightarrow \infty$, следовательно, можно назначить такое $\lambda_{0}$, что для всех $\lambda>\lambda_{0}$
\[
\frac{1}{\lambda}\left|F_{1}\right|<\frac{1}{2 \alpha} \text {. }
\]
На этом основании получаем оценку
\[
|\Delta| \geqslant \lambda\left(\frac{1}{\alpha}-\lambda^{-1}\left|F_{1}(t, \lambda)\right|\right) \geqslant \frac{\lambda}{2 \alpha} .
\]
Функция $\eta^{*}$ определяется начальными условиями: она зависит от $\lambda$, но, согласно лемме II $\S 1$, п. 3 существует такая постоянная $C$, не зависящая от $\lambda$, что
\[
\left|\eta^{*}\right| \leqslant C \text {. }
\]
Так как функции $\eta_{1}, \eta_{2}, \Phi_{1}, \Phi_{2}, \omega$ и $\dot{\omega}$ ограниченные со своими производными при $t \in[0, T]$ и $\lambda \rightarrow \infty$, то можно назначить такое число $D$, что для всех $\lambda>\lambda_{0}$ будет
\[
\left|\eta_{1}\right| \leqslant D, \quad\left|\eta_{2}\right| \leqslant D, \quad\left|\dot{\Phi}_{1}\right| \leqslant D \text { и т. д. }
\]
Тогда на основании (4.12) будем иметь следующую оценку:
\[
\begin{aligned}
|\eta| \leqslant C+2 \lambda \alpha D\left\{\mid \int_{0}^{t} \sin \left[\lambda \int_{0}^{t} \omega d \tau_{1}\right]\right. & \Phi_{1}(\tau) d \tau \mid \\
& \left.+\mid \int_{0}^{t} \cos \left[\lambda \int_{0}^{t} \omega d t_{1}\right] \Phi_{2}(\tau) d \tau\right]
\end{aligned}
\]
Оценим интегралы, входящие в правую часть неравенства; интегрируя по частям, получим
\[
\begin{array}{c}
J_{1}=\mid \int_{0}^{t} \sin \left[\lambda \int_{0}^{t} \omega(\xi) d \xi\left|\Phi_{1}(\tau) d \tau\right|=\right. \\
=\left\lvert\, \frac{1}{\lambda}\left\{-\cos \left[\lambda \int_{0}^{t} \omega d \xi\right] \frac{\Phi_{1}(t)}{\omega(t)}+\frac{\Phi_{1}(0)}{\omega(0)}+\right.\right. \\
\left.\quad+\int_{0}^{t} \cos \left[\lambda \int_{0}^{t} \omega d \xi\right] \frac{\dot{\Phi} \omega-\dot{\omega} \Phi}{\omega^{2}} d \tau\right\} \mid \leqslant \\
\quad \leqslant \frac{1}{\lambda}\left\{\frac{2 D}{\alpha}+\int_{0}^{t} \frac{2 D^{2}}{\alpha^{2}} d \tau\right\} \leqslant \frac{2 D}{\lambda a}\left(1+\frac{D T}{\alpha}\right) .
\end{array}
\]
Аналогичную оценку получаем и для второго интеграла. Собирая эти оценки, находим скончательно
\[
|\eta| \leqslant C+8 D^{2}\left(1+\frac{D T}{\alpha}\right) .
\]
Константа, стоящая в правой части неравенств, не зависит от $\lambda$. Теорема доказана полностью. Метод доказательства без каких либо существенных изменений переносится и на общий случай.
