Впредь вместо системы (4.1) мы будем рассматривать систему следующего вида:
\[
\left.\begin{array}{c}
\dot{x}=-\lambda y+X\left(x, y, z_{1}, \ldots, z_{m}\right), \\
\dot{y}=\lambda x+Y\left(x, y, z_{1}, \ldots, z_{m}\right), \\
\dot{z}_{s}=\sum_{j=1}^{m} b_{s j} z_{j}+Z_{s}\left(x, y, z_{1}, \ldots, z_{m}\right) \\
(s=1,2, \ldots, m ; m=n-2) .
\end{array}\right\}
\]

Рассмотрение системы (4.5) вместо (4.1) не нарушает общности, так как система (4.1) может быть всегда приведена к виду (4.5) линейным преобразованием переменных. Для того чтобы это показать, рассмотрим систему уравнений
\[
\xi_{i}=\sum_{j=1}^{n} a_{i j} \xi_{j}
\]

и введем новую переменную
\[
\eta=\sum_{i=1}^{n} A_{i} \xi_{i}
\]

здесь $A_{i}$ — некоторые числа, выбранные таким образом, чтобы для любых $\xi_{i}$ имело место равенство
\[
\sum_{i} A_{i} \xi_{i}=\frac{1}{\mu} \sum_{i j} A_{i} a_{i j \xi_{j}}
\]

где $\mu$ — некоторое, специальным образом подобранное число. Следовательно, величины $A_{i}$ удовлетворяют системе алгебраических уравнений
\[
\sum_{i=1}^{n} A_{i}\left(\mu \delta_{i}^{l}-a_{i j}\right)=0 \quad(j=1,2, \ldots, n),
\]

где $\delta_{i}^{l}$ — символ Кронекера. Для того чтобы система (4.9) допускала нетривиальные решения, необходимо и достаточно, чтобы ц было корнем уравнения (4.3).
Вычислим теперь производную $\dot{\eta}$ в силу уравнений (4.6)
\[
\dot{\eta}=\sum_{i, j=1}^{n} A_{i} a_{i j} \xi_{j}
\]

Используя (4.8), находим
\[
\dot{\eta}=\mu \sum_{i} A_{i} \xi_{i}=\mu \eta
\]

Таким образом, каждому из чисто мнимых корней уравнения (4.3) можно поставить в соответствие функции $\eta_{1}$ и $\eta_{2}$, удовлетворяющие уравнениям
\[
\dot{\eta}_{1}=i \lambda \eta_{1}, \quad \dot{\eta}_{2}=-i \lambda \eta_{2},
\]

причем величины $\eta_{1}$ и $\eta_{2}$ определяются равенствами
\[
\eta_{1}=\sum_{i=1}^{n} A_{i}^{(1)} \xi_{i}, \quad \eta_{2}=\sum_{i=1}^{n} A_{i}^{(2)} \xi_{i}
\]

где числа $A_{i}^{(1)}$ и $A_{l}^{(2)}$ определены из уравнений (4.9) при $\mu=i \lambda$ и $\mu=-i \lambda$ соптветственно. Вместо переменных $\eta_{1}$ и $\eta_{2}$, которые удовлетворяют уравнениям с мнимыми коэффициентами, удобно ввести другие переменные
\[
x=\eta_{1}+\eta_{2}, \quad y=i\left(\eta_{2}-\eta_{1}\right) .
\]

Эти величины удовлетворяют системе уравнений
\[
\dot{x}=-\lambda y, \quad \dot{y}=\lambda x .
\]

Если теперь в системе уравнений (4.1) сделать замену переменных
\[
\begin{array}{l}
x=\sum_{i=1}^{n}\left(A_{i}^{(1)}+A_{i}^{(2)}\right) \tilde{x}_{i}, \\
y=i \sum_{i=1}^{n}\left(A_{i}^{(2)}-A_{i}^{(1)}\right) \tilde{x}_{i}, \\
z_{j}=\tilde{x}_{j} \quad(j=1,2, \ldots, n-2),
\end{array}
\]

то она будет приведена к виду (4.5).
Форму уравнений (4.5) мы будем называть канонической формой систем Ляпунова.

Первый интеграл (4.4) в этих переменных может быть приведен к виду
\[
x^{2}+y^{2}+W\left(z_{1}, \ldots, z_{n}\right)+S\left(x, y, z_{1}, \ldots, z_{n}\right)=\mu^{2},
\]

где $W$ — квадратичная форма своих переменных, а $S$ — аналитическая функция, разложение которой начинается с членов третьего порядка малости.