Метод, кспользованный для построения периодических решений системы (1.8), может быть использован и для решения более сложной задачи — отыскания периодических решений системы (4.1). Сделаем сначала стандартную замену независимой переменной (3.12)
\[
t=\frac{\tau}{\lambda}\left(1+h_{2} c^{2}+h_{3} c^{3}+\ldots\right),
\]

где $h_{i}$ — числа, подлежащие определению.
Система (4.1) тогда заменится следующей:
\[
\left.\begin{array}{c}
\frac{d x}{d \tau}=\left[-\lambda y+X\left(x, y, z_{1}, \ldots, z_{m}\right)\right] \frac{1+h_{2} c^{2}+\ldots}{\lambda}, \\
\frac{d y}{d \tau}=\left[\lambda x+Y\left(x, y, z_{1}, \ldots, z_{m}\right)\right] \frac{1+h_{2} c^{2}+\ldots}{\lambda}, \\
\frac{d z_{s}}{d \tau}=\left[\sum_{i=1}^{m} b_{s j} z_{j}+Z_{s}\left(x, y, z_{1}, \ldots, z_{m}\right)\right] \frac{1+h_{2} c^{2}+\ldots}{\lambda} \\
(s=1,2, \ldots, m) .
\end{array}\right\}
\]

Периодические решения системы (4.12) будем искать в виде рядов
\[
\left.\begin{array}{l}
x=\sum_{k=1}^{\infty} c^{k} x^{(k)}(\tau), \\
y=\sum_{k=1}^{\infty} c^{k} y^{(k)}(\tau), \\
z_{s}=\sum_{k=1}^{\infty} c^{k} z_{s}^{(k)}(\tau) \\
(s=1,2, \ldots, m) .
\end{array}\right\}
\]

Подставим ряды (4.13) в систему (4.12) и сравним коэффициенты при одинаковых степенях параметра $c$. Функции $x^{(1)}$, $y^{(1)}$ и $z_{s}^{(1)}$ будут удовлетворять системе дифференциальных уравнений
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d x^{(1)}}{d \tau}=-y^{(1)}, \quad \frac{d y^{(1)}}{d \tau}=x^{(1)}, \\
\frac{d z_{s}^{(1)}}{d \tau}=\frac{1}{\lambda} \sum_{i=1}^{m} b_{s i} z_{j}^{(1)} \quad(s=1,2, \ldots, m) .
\end{array}\right\}
\]

Для функции $x^{(2)}, y^{(2)}$ и $z_{s}^{(2)}$ получим следующую систему уравнений:
\[
\left.\begin{array}{c}
\frac{d x^{(2)}}{d \tau}=-y^{(2)}+\frac{1}{\lambda} X^{(1)}\left(x^{(1)}, y^{(1)}, z_{s}^{(1)}\right), \\
\frac{d y^{(2)}}{d \tau}=x^{(2)}+\frac{1}{\lambda} Y^{(1)}\left(x^{(1)}, y^{(1)}, z_{s}^{(1)}\right), \\
\frac{d z_{s}^{(2)}}{d \tau}=\frac{1}{\lambda} \sum_{j=1}^{m} b_{s} z_{j}^{(2)}+\frac{1}{\lambda} Z_{s}^{(1)}\left(x^{(1)}, y^{(1)}, z_{s}^{(1)}\right) \\
(s=1,2, \ldots, m) .
\end{array}\right\}
\]

Выпишем еще систему уравнений третьего приближения
\[
\begin{array}{r}
\frac{d x^{(3)}}{d \tau}=-y^{(3)}+\frac{1}{\lambda} X^{(2)}\left(x^{(1)}, x^{(2)}, y^{(1)}, y^{(2)}, z_{s}^{(1)}, z_{s}^{(2)}\right)-h_{2} y^{(1)} \\
\frac{d y^{(3)}}{d \tau}=x^{(3)}+\frac{1}{\lambda} Y^{(2)}\left(x^{(1)}, x^{(2)}, y^{(1)}, y^{(2)}, z_{s}^{(1)}, z_{s}^{(2)}\right)+h_{2} x^{(1)} \\
\frac{d z_{s}^{(3)}}{d \tau}=\frac{1}{\lambda} \sum_{j=1}^{m} b_{s j} z_{j}^{(3)}+\frac{1}{\lambda} Z_{s}^{(2)}\left(x^{(1)}, x^{(2)}, y^{(1)}, y^{(2)}, z_{s}^{(1)}, z_{s}^{(2)}\right)+ \\
+\frac{h_{2}}{\lambda} \sum_{j=1}^{m} b_{s i} z_{s}^{(1)} \quad(s=1,2, \ldots, m) .
\end{array}
\]

В качестве начальных значений для определения функций $x^{(i)}$ и $y^{(l)}$ примем
\[
x^{(1)}=1, \quad y^{(1)}=x^{(k)}=y^{(k)}=0 \quad(k
eq 1) .
\]

Первые два уравнения системы (4.14) и начальные условия (4.17) единственным образом определяют функции $x^{(1)}$ и $y^{(1)}$.
\[
x^{(1)}=\cos \tau \quad y^{(1)}=\sin \tau .
\]

Начальные условия для $z_{s}^{(1)}$ не заданы. Мы должны их подобрать так, чтобы функции $z_{s}^{(1)}$ были периодическими функциями $\tau$ периода $2 \pi$. Так как, по предположению, среди собственных чисел матрицы $\left\|b_{i j}\right\|$ нет кратных $\lambda$, то среди нетривиальных решений системы
\[
\frac{d z_{s}^{(1)}}{d \tau}=\frac{1}{\lambda} \sum_{j=1}^{m} b_{s j} z_{j}^{(1)} \quad(s=1,2, \ldots, m)
\]

нет периодических искомого периода. В самом деле, периодические решения системы (4.19) периода $2 \pi$ должны иметь вид
\[
x_{s}^{(1)}=e^{i t} r_{s}
\]

и, следовательно, (4.19) сводится к следующей алгебраической системе:
\[
\sum_{j=1}^{m} b_{s j} r_{j}=i \lambda r_{s} \quad(s=1,2, \ldots, m) .
\]

Но равенство (4.20) возможно тогда и только тогда, когда $i \lambda$ — собственное число матрицы $\left\|b_{i j}\right\|$.
Таким образом,
\[
z_{j}^{(1)}=0 .
\]

Следовательно, разложения функций $z_{s}$ по степеням параметра $c$ начинается с членов второго порядка малости.

Перейдем теперь к системе (4.15). Ее правые части, если в них подставить решения ( 4.18$)$ и положить $z_{s}^{(1)} \equiv 0$, будут некоторыми известными периодическими функциями $\tau$.

Рассмотрим первые два уравнения этой системы. Они имеют форму уравнений (3.17) и, следовательно, для существования периодических решений $x^{(2)}(\tau)$ и $y^{(2)}(\tau)$ необходимо и достаточно выполнения условий (3.22). Однако в силу теоремы о существовании периодических решений эти условия должны выполняться автоматически. Поэтому искомое периодическое решение имеет вид
\[
\left.\begin{array}{l}
x^{(2)}=A \cos \tau+B \sin \tau+\varphi_{1}(\tau) \\
y^{(2)}=A \sin \tau-B \cos \tau+\varphi_{2}(\tau)
\end{array}\right\}
\]

где $\varphi_{1}$ и $\varphi_{2}$ — частные решения системы (4.15), которые строятся известным способом, а числа $A$ и $B$ выбираются так, чтобы функции $x^{(2)}$ и $y^{(2)}$ удовлетворяли нулевым начальным условиям.

Рассмотрим ту часть системы (4.15), которая описывает изменение функции $z_{s}^{(2)}$
\[
\frac{d z_{s}^{(2)}}{d \tau}=\frac{1}{\lambda} \sum_{j=1}^{m} b_{s j} x_{j}^{(2)}+\frac{1}{\lambda} Z_{s}^{(1)}(\tau) \quad(s=1,2, \ldots, m),
\]

где $Z_{s}^{(1)}$ — известные периодические функции $\tau$ периода $2 \pi$. Так как среди собственных чисел матрицы $\left\|b_{i j}\right\|$ нет кратных $\lambda$, то у системы (4.22) существует единственное периодическое решение периода $2 \pi$. Это решение строится известными методами (например, методом неопределєнных коэффициентов), причем для начальных значений $z_{s}^{(2)}$ получаются вполне определенные значения.

После того как мы построили решение $x^{(2)}, y^{(2)}$ и $z_{s}^{(2)}$, в первых двух уравнениях системы (4.16) функции $X^{(2)}$ и $Y^{(2)}$ будут известными периодическими функциями периода $2 \pi$. Условия (3.22) существования периодических решений запишутся в виде
\[
\left.\begin{array}{c}
\int_{0}^{2 \pi} X^{(2)} \cos \tau d \tau+\int_{0}^{2 \pi} Y^{(2)} \sin \tau d \tau=0, \\
-h_{2}+\frac{1}{2 \pi \lambda} \int_{0}^{2 \pi} X^{(2)} \sin \tau d \tau-\frac{1}{2 \pi \lambda} \int_{0}^{2 \pi} Y^{(2)} \cos \tau d \tau=0 .
\end{array}\right\}
\]

Первое из этих условий должно выполняться автоматически. Второе из условий (4.23) позволяет вычислить число $h_{2}$. Если число $h_{2}$ выбрано надлежащим образом, первые два уравнения системы (4.16) допускают периодические решения типа (4.21). Что касается функций $z_{s}^{(3)}$, то они удовлетворяют системе уравнений типа (4.22), которая в свою очередь допускает единственное периодическое решение $z_{s}^{(3)}(\tau)$, причем начальные значения этих функций получаются вполне определенными. Легко видеть, что процесс может быть неограниченно продолжен и любые члены рядов (4.13) могут быть вычислены. Заметим, что на каждом шаге нам приходится определять число $h_{k}$. Так как уравнение для определения $h_{k}$ линейное, то $h_{k}$ определятся и притом однозначно.

Итак, изложенный метод позволяет построить периодические решения системы Ляпунова произвольного порядка. В случае систем второго порядка этот метод дает возможность построить общий интеграл системы, т. е. для достаточно малых значений $c$ позволяет проводить исчерпывающее исследование задачи.

В случае систем $n$-го порядка метод Ляпунова дает возможность построить голько семейство частных решений, зависящих от двух произвольных постоянных: параметра $c$ и аддитивной постоянной $h$. Несмотря на то, что метод Ляпунова позволяет в случае систем произвольного порядка получить на первый взгляд результат очень ограниченный, тем не менее его значение для теории колебаний весьма велико. Для пояснения сказанного рассмотрим консервативные системы.