Ван-дер-Поль и его последователи разработали эффективные методы исследования квазилинейных задач теории колебаний. В этом случае порождающим является линейное уравнение. Однако не представляет существенного труда распространить метод Ван-дер-Поля на более общие задачи теории нелинейных колебаний. В этом параграфе мы будем изучать колебания в системах, близких к произвольным консервативным, когда порождающим является уже некоторое нелинейное уравнение. Мы убедимся, что в том случае, когда его общее решение известно, решение исходного уравнения может быть получено при помощи стандартных рассуждений предыдущего параграфа.
Итак, рассмотрим уравнение
$$\ddot{z}+f(z)=\epsilon \phi (z\dot{z}),$$

где $\epsilon$ — малый параметр. Порождающим уравнением является
$$\ddot{z}+f(z)=0.$$

Относительно уравнения (2.2) будем предполагать, что его общий интеграл нам известен и может быть выписан в явном виде
$$\dot{z}=Q^{\ast }(x,t+t_0),$$

где $x$ и $t_0$-произвольные постоянные. Кроме того, мы будем считать, что $f(0)=0$, и рассматривать ту область фазовых переменных, в которой все решения уравнения (2.2) — периодические функции времени.

Итак, функция $Q^{\ast }$ будет периодической функцией $t$ периода $T$. Период будет зависеть (в общем случае) от постоянной $x$, которую мы усіовимся называть амплитудой. Для того чтобы иметь дело с функцией одного периода, введем новую переменную
$$y=\omega (x)(t+t_0).$$

Здесь множитель $\omega (x)$ выбран таким образом, чтобы функция
$$Q(x,y)=Q^{\ast }(x,t+t_0)$$

была периодической по $y$ периода $2\pi$. Этим условием величина $\omega (x)$ определяется однозначно. Она является нормирующим множителем. По аналогии с линейными системами условимся называть ее частотой, а $y$ — фазой.

Заметим, что функция $Q(x,y)$ тождественно, т. е. при любых значениях $x$ и $t_0$, удовлетворяет порождающему уравнению (2.2). Таким образом,
$$\ddot{z}+f(z)\equiv {\omega }^2{Q}_{yy}+f(Q)\equiv 0.$$

Первый шаг при реализации метода Ван-дер-Поля состоит в замене одного уравнения второго порядка системой двух уравнений первого порядка. Для этого используется классический метод вариации произвольных постоянных.

В качестве новых переменных в предыдущем параграфе мы использовали амплитуду и фазу. Точно так же мы можем поступить и в данном случае. Итак, мы имеем
$$z=Q(x,y).$$

Положим, кроме того,
$$\dot{z}=\omega Q_y(x,y)\text{. }$$

Равенства (2.5) и (2.6) определяют замену переменных Соста: вим теперь уравнения, которым удовлетворяют новые переменцые. Дифференцируя ( 2,5 ) и приравнивая полученное выражение выражению (2.6), составим первое из соотношений между производными новых переменных
$$Q_x\dot{x}+Q_{y}y-\omega Q_y=0.$$

Это уравнение представляет собой условие совместности определений (2.5) и (2.6). Второе уравнение получим, подставляя выражение (2.6) в уравнение (2.1):
$$(Q_y{\omega }^{\prime }+\omega Q_{xy})\dot{x}+\omega \dot{y}{Q}_{yy}+f(Q)=\epsilon \phi (Q,\omega Q_y),$$

где ${\omega }^{\prime }$ означает производную $\frac{do(x)}{dx}$.
Система (2.7), (2.8) представляет собой систему двух дифференциальных уравнений относительно функций $x$ и $y$. Для дальнейшего нам надо разрешить эти уравнения относительно производных $\dot{x}$ и $\dot{y}$. После очевидных преобразований получим
$$\begin{array}{c}\dot{x}\{[Q_x{Q}_{yy}-Q_y{Q}_{xy}]\omega -{\omega }^{\prime }{Q}_y^2\}-\\ -\{{\dot{\omega }}^2{Q}_{yy}+f(Q)\}{Q}_y=-\epsilon \phi (Q,\omega Q_y)Q_y\\ \dot{y}\{Q_y^2{\omega }^{\prime }-\omega [Q_x{Q}_{yy}-Q_y{Q}_{xy}]\}-\\ -\{\omega Q_y({\omega }^{\prime }{Q}_y+\omega Q_{xy})+f(Q)Q_x\}=-\epsilon \phi (Q,\omega Q_y)Q_x\end{array}\}$$

Введем обозначение
$$\mathrm{\Delta }=[Q_x{Q}_{yy}-Q_y{Q}_{xy}]\omega -{\omega }^{\prime }{Q}_y^2.$$

Далее замечаем, что в силу тождества (2.4) вторая фигурная скобка в первом из уравнений (2.9) равна нулю. Точно так же может быть упрощено второе слагаемое во втором из уравнений (2.9). Для этого мы заменим функцию $f(Q)$ ее выражением из $(2.4)$
$$f(Q)=-{\omega }^2{Q}_{yy}$$

тогда получим
$$\omega Q_y({\omega }^{\prime }{Q}_y+\omega Q_{xy})+f(Q)Q_x=\omega [{\omega }^{\prime }{Q}_y^2+\omega (Q_{xy}{Q}_y-Q_x{Q}_{yy})]=-\omega \mathrm{\Delta }.$$

Итак, система (2.9) может быть теперь переписана в виде:
$$\dot{x}=-\frac{\epsilon }{\mathrm{\Delta }}\phi Q_y,\dot{y}=\omega (x)+\frac{\epsilon }{\mathrm{\Delta }}\phi Q_x.$$

Система двух уравнений первого порядка (2.10) эквивалентна исходному уравнению второго порядка (2.1) *)