Ван-дер-Поль и его последователи разработали эффективные методы исследования квазилинейных задач теории колебаний. В этом случае порождающим является линейное уравнение. Однако не представляет существенного труда распространить метод Ван-дер-Поля на более общие задачи теории нелинейных колебаний. В этом параграфе мы будем изучать колебания в системах, близких к произвольным консервативным, когда порождающим является уже некоторое нелинейное уравнение. Мы убедимся, что в том случае, когда его общее решение известно, решение исходного уравнения может быть получено при помощи стандартных рассуждений предыдущего параграфа.
Итак, рассмотрим уравнение
\[
\ddot{z}+f(z)=\varepsilon \varphi(z \dot{z}),
\]

где $\varepsilon$ – малый параметр. Порождающим уравнением является
\[
\ddot{z}+f(z)=0 .
\]

Относительно уравнения (2.2) будем предполагать, что его общий интеграл нам известен и может быть выписан в явном виде
\[
\dot{z}=Q^{*}\left(x, t+t_{0}\right),
\]

где $x$ и $t_{0}$-произвольные постоянные. Кроме того, мы будем считать, что $f(0)=0$, и рассматривать ту область фазовых переменных, в которой все решения уравнения (2.2) – периодические функции времени.

Итак, функция $Q^{*}$ будет периодической функцией $t$ периода $T$. Период будет зависеть (в общем случае) от постоянной $x$, которую мы усіовимся называть амплитудой. Для того чтобы иметь дело с функцией одного периода, введем новую переменную
\[
y=\omega(x)\left(t+t_{0}\right) .
\]

Здесь множитель $\omega(x)$ выбран таким образом, чтобы функция
\[
Q(x, y)=Q^{*}\left(x, t+t_{0}\right)
\]

была периодической по $y$ периода $2 \pi$. Этим условием величина $\omega(x)$ определяется однозначно. Она является нормирующим множителем. По аналогии с линейными системами условимся называть ее частотой, а $y$ – фазой.

Заметим, что функция $Q(x, y)$ тождественно, т. е. при любых значениях $x$ и $t_{0}$, удовлетворяет порождающему уравнению (2.2). Таким образом,
\[
\ddot{z}+f(z) \equiv \omega^{2} Q_{y y}+f(Q) \equiv 0 .
\]

Первый шаг при реализации метода Ван-дер-Поля состоит в замене одного уравнения второго порядка системой двух уравнений первого порядка. Для этого используется классический метод вариации произвольных постоянных.

В качестве новых переменных в предыдущем параграфе мы использовали амплитуду и фазу. Точно так же мы можем поступить и в данном случае. Итак, мы имеем
\[
z=Q(x, y) .
\]

Положим, кроме того,
\[
\dot{z}=\omega Q_{y}(x, y) \text {. }
\]

Равенства (2.5) и (2.6) определяют замену переменных Соста: вим теперь уравнения, которым удовлетворяют новые переменцые. Дифференцируя ( 2,5 ) и приравнивая полученное выражение выражению (2.6), составим первое из соотношений между производными новых переменных
\[
Q_{x} \dot{x}+Q_{y} y-\omega Q_{y}=0 .
\]

Это уравнение представляет собой условие совместности определений (2.5) и (2.6). Второе уравнение получим, подставляя выражение (2.6) в уравнение (2.1):
\[
\left(Q_{y} \omega^{\prime}+\omega Q_{x y}\right) \dot{x}+\omega \dot{y} Q_{y y}+f(Q)=\varepsilon \varphi\left(Q, \omega Q_{y}\right),
\]

где $\omega^{\prime}$ означает производную $\frac{d o(x)}{d x}$.
Система (2.7), (2.8) представляет собой систему двух дифференциальных уравнений относительно функций $x$ и $y$. Для дальнейшего нам надо разрешить эти уравнения относительно производных $\dot{x}$ и $\dot{y}$. После очевидных преобразований получим
\[
\left.\begin{array}{c}
\dot{x}\left\{\left[Q_{x} Q_{y y}-Q_{y} Q_{x y}\right] \omega-\omega^{\prime} Q_{y}^{2}\right\}- \\
-\left\{\dot{\omega}^{2} Q_{y y}+f(Q)\right\} Q_{y}=-\varepsilon \varphi\left(Q, \omega Q_{y}\right) Q_{y} \\
\dot{y}\left\{Q_{y}^{2} \omega^{\prime}-\omega\left[Q_{x} Q_{y y}-Q_{y} Q_{x y}\right]\right\}- \\
-\left\{\omega Q_{y}\left(\omega^{\prime} Q_{y}+\omega Q_{x y}\right)+f(Q) Q_{x}\right\}=-\varepsilon \varphi\left(Q, \omega Q_{y}\right) Q_{x}
\end{array}\right\}
\]

Введем обозначение
\[
\Delta=\left[Q_{x} Q_{y y}-Q_{y} Q_{x y}\right] \omega-\omega^{\prime} Q_{y}^{2} .
\]

Далее замечаем, что в силу тождества (2.4) вторая фигурная скобка в первом из уравнений (2.9) равна нулю. Точно так же может быть упрощено второе слагаемое во втором из уравнений (2.9). Для этого мы заменим функцию $f(Q)$ ее выражением из $(2.4)$
\[
f(Q)=-\omega^{2} Q_{y y}
\]

тогда получим
\[
\omega Q_{y}\left(\omega^{\prime} Q_{y}+\omega Q_{x y}\right)+f(Q) Q_{x}=\omega\left[\omega^{\prime} Q_{y}^{2}+\omega\left(Q_{x y} Q_{y}-Q_{x} Q_{y y}\right)\right]=-\omega \Delta .
\]

Итак, система (2.9) может быть теперь переписана в виде:
\[
\dot{x}=-\frac{\varepsilon}{\Delta} \varphi Q_{y}, \quad \dot{y}=\omega(x)+\frac{\varepsilon}{\Delta} \varphi Q_{x} .
\]

Система двух уравнений первого порядка (2.10) эквивалентна исходному уравнению второго порядка (2.1) *)