Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
Остановимся еще на выражении интеграла $H$. Согласно предположению б) его представление имеет вид
\[
H \equiv A x^{2}+B y^{2}+C x y+\ldots=\tilde{\mu},
\]
где $\tilde{\mu}$ – некоторая постоянная. Так как $H$ – первый интеграл, то в силу уравнений (1.8) $\frac{d H}{d t}=0$, что позволяет вычислить коэффициенты $A, B, C$ и т. д. Найдем
\[
\begin{aligned}
\frac{d H}{d t}=(2 A x+C y+\ldots)(-\lambda y+ & X(x, y))+ \\
& +(2 B y+C x+\ldots)(\lambda x+Y(x, y)) .
\end{aligned}
\]
Сравнивая коэффициенты при $x^{2}, y^{2}$ и $x y$, получим
\[
C \lambda=0, \quad-2 A \lambda+2 B \lambda=0 .
\]
Отсюда $A=B, C=0$. Не нарушая общности, можно принять
\[
A=B=1 \text {. }
\]
Итак, интеграл $H$ можно представить в виде
\[
H \equiv x^{2}+y^{2}+W(x, y)=\mu^{2},
\]
где $W$ – аналитическая функция своих переменных, разложение которой начинается с членов не ниже третьего порядка малости, $\mu^{2}$ – некоторая постоянная, которую всегда мы можем считать положительной для достаточно малых $|x|$ и $|y|$.
