Остановимся еще на выражении интеграла $H$. Согласно предположению б) его представление имеет вид
\[
H \equiv A x^{2}+B y^{2}+C x y+\ldots=\tilde{\mu},
\]

где $\tilde{\mu}$ — некоторая постоянная. Так как $H$ — первый интеграл, то в силу уравнений (1.8) $\frac{d H}{d t}=0$, что позволяет вычислить коэффициенты $A, B, C$ и т. д. Найдем
\[
\begin{aligned}
\frac{d H}{d t}=(2 A x+C y+\ldots)(-\lambda y+ & X(x, y))+ \\
& +(2 B y+C x+\ldots)(\lambda x+Y(x, y)) .
\end{aligned}
\]

Сравнивая коэффициенты при $x^{2}, y^{2}$ и $x y$, получим
\[
C \lambda=0, \quad-2 A \lambda+2 B \lambda=0 .
\]

Отсюда $A=B, C=0$. Не нарушая общности, можно принять
\[
A=B=1 \text {. }
\]

Итак, интеграл $H$ можно представить в виде
\[
H \equiv x^{2}+y^{2}+W(x, y)=\mu^{2},
\]

где $W$ — аналитическая функция своих переменных, разложение которой начинается с членов не ниже третьего порядка малости, $\mu^{2}$ — некоторая постоянная, которую всегда мы можем считать положительной для достаточно малых $|x|$ и $|y|$.