В этом параграфе мы изложили естественное обобщение метода Ван-дер-Поля на класс задач, которые можно назвать существенно нелинейными. Мы ввели аналоги амплитуды и фазы и составили уравнения, которым должны удовлетворять эти величины. Для вывода наших уравнений мы воспользовались стандартной процедурой варьирования произвольных постоянных. Все эти рассуждения основывались на предположении о том, что интеграл порождающего уравнения нам известен в виде, разрешенном относительно неизвестной функции
\[
z=Q\left(x, t+t_{0}\right) .
\]

Порождающее уравнение (2.2) – это общее нелинейное уравнение второго порядка, не содержащее первой производной. Оба его интеграла могут быть всегда выписаны в форме квадратур. Однако явное выражение (2.14) может быть получено только в исключительных случаях.

Возможны два пути преодоления этой трудности. Первый строить приближенные представления для функции $Q(x, t)$. Для этого мы можем, например, рассматривать порождающее уравнение (2.2) как квазилинейное и находить его общий интеграл тем или иным способом, в частности методом осреднения. Такой подход пригоден только для случая малых энергий. Вторая возможность состоит в следующем (она предложена В. М. Волосовым) $\left.{ }^{*}\right)$.

Порождающее уравнение (2.2) допускает следующие интегралы:
\[
\left.\begin{array}{l}
\dot{z}^{2}+U(z)=\alpha, \\
\psi(z, \alpha) \equiv \frac{1}{T(\alpha)} \int \frac{d z}{\sqrt{\alpha-U(z)}}=\frac{t}{T(\alpha)}+\text { const }=\beta,
\end{array}\right\}
\]

где
\[
U(z)=2 \int f(z) d z .
\]

Примем в качестве новых переменных при изучении уравнения (2.1) величины $\alpha$ и $\beta$. Они характеризуют колебательный процесс с той же полнотой, что и величины $x$ и $y$, принятые в этом параграфе. Но, дифференцируя (2.15), в силу уравнения (2.1) мы всегда можем составить уравнения для $\alpha$ и $\beta$. Для этого, как увидим, нам не надо явного представления решения в виде $z=Q(x, t)$. Итак,
\[
\dot{\alpha}=2 \dot{z} \ddot{z}+\frac{d U}{d z} \dot{z}
\]

но
\[
\ddot{z}=-f(z)+\varepsilon \varphi(z, \dot{z}), \quad \frac{d U}{d z}=2 f(z),
\]

поэтому
\[
\dot{\alpha}=2 \varepsilon \varphi(z, \sqrt{\alpha-U(z)}) \sqrt{\alpha-U(z)} .
\]

Аналогично находим
\[
\beta=\frac{\partial \psi}{\partial z} \dot{z}+\frac{\partial \psi}{\partial \alpha} \dot{\alpha}=\frac{1}{T(\alpha)}+2 \varepsilon \frac{\partial \psi}{\partial \alpha} \varphi(z, \sqrt{\alpha-U(z)}) \sqrt{\alpha-U(z)} .
\]

Поскольку $z$ является периодической по времени, то этим свойством обладает и величина $\beta$. Поэтому мы можем провести усреднение правых частей этих уравнений по $\beta$ :
\[
\left.\begin{array}{l}
\dot{\alpha}=\frac{2 \varepsilon}{T(\alpha)} \int_{\beta_{0}}^{\beta_{0}+T} \varphi \cdot \sqrt{\alpha-U(z)} d \beta, \\
\beta=\frac{1}{T(\alpha)}+\frac{2 \varepsilon}{T(\alpha)} \int_{\beta_{0}}^{\beta_{0}+T} \frac{\partial \psi}{\partial \alpha} \varphi \sqrt{\alpha-U(z)} d \beta,
\end{array}\right\}
\]

где $T(\alpha)$ – период функции $z\left(t+t_{0}, \alpha\right)$.
*) В. М. Волосов, Некоторые виды расчетов в теории нелинейных колебаний, связанных с усреднением, Журнал вычислительной математики и математической физики, № 1, 1963 ,

В том виде, в каком мы получили систему уравнений (2.16), ее еще нельзя непосредственно использовать для исследования уравнения (2.1), поскольку в правую часть входит функция $z(\alpha, \beta)$, интегрирование ведется по $\beta$, а связь между этими
величинаии в явном виде нам не задана. Но, используя интеграл энергии (2.15), мы можем перейти в уравнениях (2.16) от интегрирования по переменному $\beta$ к интегрированию по переменному $z$. Для того чтобы проделать необходимые выкладки, заметим, что $d z=\sqrt{\alpha-U(z)} d \beta-$ в верхней полуплоскости фазовой плоскости и $d z=-\sqrt{\alpha-U(z)} d \beta-$ в нижней полуплоскости.
Рис. 26.
В самом деле, (см. рис. 26), изображающая точка движется вдоль фазовой траектории по часовой стрелке, и следовательно, в верхней полуплоскости $d z>0$, а в нижней $d z<0$.

Имея в виду это обстоятельство, перепишем уравнения (2.16) в следующем виде:
\[
\left.\begin{array}{l}
\dot{\alpha}=\frac{2 \varepsilon}{T(\alpha)}\left\{\int_{\underline{z}}^{\bar{z}} \varphi(z, \dot{z}) d z-\int_{\bar{z}}^{\bar{z}} \varphi(z \dot{z}) d z\right\}, \\
\beta=\frac{1}{T(\alpha)}+\frac{2 \varepsilon}{T(\alpha)}\left\{\int_{\underline{z}}^{\bar{z}} \varphi \frac{\partial \psi}{\partial \alpha} d z-\int_{\bar{z}}^{\bar{z}} \varphi \frac{\partial \psi}{\partial \alpha} d z\right\}
\end{array}\right\}
\]

Первый из интегралов берется по верхней ветви фазовой траектории (т. е. вдоль той ветви, где величина $\dot{z}=\sqrt{\alpha-U(z)}$ ), а второй – вдоль нижней ветви (г. е. где $\dot{z}=-\sqrt{\alpha-U(z)}$ ).

В уравнениях (2.17) появились новые величины $z$ и $\bar{z}-$ максимальное и минимальное отклонения от положения равновесия. Заметим прежде всего, что эти величины не независимы: им отвечает одно и то же значение потенциальной энергии $U(z)$
\[
U(z)=U(\bar{z})=\alpha_{i} .
\]

Далее вместо энергии $\alpha$ удобно взять в качестве переменного одну из этих величин, например $\bar{z}$. Тогда на основании (2.18)
\[
\dot{\alpha}=\left(\frac{d U}{d z}\right)_{z=\bar{z}} \dot{\bar{z}}=2 f(\bar{z}) \dot{\bar{z}},
\]

и поэтому уравнение для $\bar{z}$ будет таким:
\[
\dot{\bar{z}}=\frac{\varepsilon}{T(\bar{z})}\left\{\int_{\underline{z}}^{\bar{z}} \frac{\varphi(z, \dot{z})}{f(\bar{z})} d z-\int_{\bar{z}}^{z} \frac{\varphi(z, \dot{z})}{f(\bar{z})} d z\right\} .
\]

Замечая еще, что
\[
\frac{\partial \psi}{\partial \bar{z}}=\frac{\partial \psi}{\partial \alpha} \cdot f(\bar{z}),
\]

мы можем аналогичным образом преобразовать и второе из уравнений (2.17)
\[
\hat{\beta}=1+\frac{2 \varepsilon}{T(\bar{z}) f(\bar{z})}\left\{\int_{\underline{z}}^{\bar{z}} \varphi(z, \dot{z}) d z-\int_{\bar{z}}^{\bar{z}} \varphi(z, \dot{z}) d z\right\} .
\]

В системе уравнений (2.19), (2.20) период $T(\bar{z})$ также определяется квадратурами
\[
T(\bar{z})=\int_{\underline{z}}^{\bar{z}} \frac{d z}{\sqrt{a-U(z)}}-\int_{\tilde{z}}^{\bar{z}} \frac{d z}{\sqrt{\alpha-U(z)}} .
\]

Уравнение (2.19) определяет нам закон изменения максимального отклонения системы от положения равновесия. Полученные выражения показывают, что эта важная характеристика может быть найдена без знания общего интеграла порождающего уравнения.

Вычисления значительно упрощаются, если колебания симметричны. В этом случае нет необходимости определять решение трансцендентного уравнения (2.18), так как
\[
\underline{z}=\bar{z} \text {. }
\]

Изложенная здесь схема рассуждений уже использовалась в § 1 для квазилинейных уравнений. Однако в этом случае она приводила только к упрощению вывода уравнений Ван-дерПоля, ничего не меняя по существу. В общем случае нелинейных уравнений рассуждения В. М. Волоссова поӟволяют получить качественно новые результаты.