В данном параграфе мы обсуждали возможности исследования устойчивости некоторого решения системы усредненных уравнений (6.2). Мы подошли к этому вопросу совершенно формально, описав общепринятый способ исследования устойчивости решений и понимая под устойчивостью устойчивость в смысле Ляпунова. Устойчивость в этом смысле предполагает исследование поведения решения на бесконечном интервале времени. Такое исследование и было проведено для системы (6.6). Если решение этой системы асимптотически устойчиво, то, согласно теореме Ляпунова, из устойчивости линеаризованного уравнения (6.6) следует устойчивость в смысле Ляпунова решения $x^{*}$ системе (6.2). Но сама система (6.2) является приближенной. Она с некоторой точностью (порядка $O(\varepsilon)$ ) описывает решение исходной системы (6.1), и то только на некотором конечном отрезке времени (порядка $O(1 / \varepsilon))$.

В силу перечисленных обстоятельств без дополнительных исследований никаких суждений об устойчивости в смысле Ляпунова решений исходной системы (6.1) из наших рассмотрений непосредственно сделать нельзя. Тем не менее использование
*) Н. Г. Четаев, Устойчивость движения. Работы по аналитической механике, АН СССР, 1962.

описанного способа рассуждения дает много для технических задач. Дело в том, что асимптотический метод исследования уравнений имеет смысл применять только тогда, когда мы хотим изучать поведение системы на конечном (хотя и большом) интервале времени. Следовательно, информация, которую доставляет приведенный способ рассуждения, может оказаться вполне достаточной для решения тех или других технических задач.

Примечание. Следует заметить, что в некоторых специальных случаях, изучавшихся Н. Н. Боголюбовым и его учениками, по устойчивости решения усредненных уравнений удается судить об устойчивости решения исходных уравнений.