Вопросам обоснования изложенного метода асимптотического интегрирования системы (4.1) посвящен целый ряд исследований. Первые работы в этом направлении принадлежали Н. М. Крылову и Н. Н. Боголюбову и относились к тому частному виду систем (4.1), для которых $\omega=1, Y=0$ (система нормальной формы). В дальнейшем целый ряд важных результатов был получен Ю. А. Митропольским, В. М. Волосовым и другими. В настоящее время теория алгоритмов, подобных тем, которые излагаются в этом параграфе, представляет собой обширную главу теории обыкновенных дифференциальных уравнений, в которой появляются все новые и новые результаты. Здесь мы не будем излагать этой теории. Отметим только один частный случай, позволяющий представить себе круг вопросов, которым посвящена указанная теория. Будем считать, что $X$ и $Y$ — периодические функции $y$ периода $2 \pi$, причем как функции $x$ они ограничены в некоторой области $D$ вместе со своими производными до порядка $n-1$ включительно. Тогда теория, развитая для уравнений типа (4.1) позволяет утверждать, что решение $x_{n}$ и $y_{n}$ является асимптотическим в том смысле, что для любого $t$ из интервала длиной порядка $1 / \varepsilon$ справедлива оценка
\[
\left|x-x_{n}\right|=O\left(\varepsilon^{n}\right), \quad\left|y-y_{n}\right|=O\left(\varepsilon^{n-1}\right),
\]

где $x_{n}$ и $y_{n}$ определяются формулами (4.15).