Кратный резонанс – это частный случай комбинационного резонанса, когда отношение $k / s$ в формуле (5:15) равно целому числу. Понятие о кратном резонансе у нас уже встречалось не только в этом параграфе. В предыдущей главе мы рассмотрели несколько задач такого рода и изложили схему вычислений по методу Пуанкаре, которая позволяет сбнаружить установившийся режим. В этом параграфе мы снова дали определение кратного резонанса. Нетрудно убедиться в том, что оно несколько отличается от введенного в предыдущей главе.
Рассмотрим снова уравнение типа (5.33)
\[
\ddot{\xi}+\omega \xi=\varepsilon \varphi(\xi, \xi)+a \cos \lambda t .
\]
Преобразование Ван-дер-Поля эас приведет к системе уравнений
\[
\left.\begin{array}{l}
\dot{x}=-\frac{\varepsilon}{\omega} \varphi \sin y-\frac{a}{\omega} \cos \lambda t \sin y, \\
\dot{y}=\omega-\frac{\varepsilon}{\omega x} \varphi \cos y-\frac{a}{\omega x} \cos \lambda t \cos y .
\end{array}\right\}
\]
В этом параграфе мы говорили, что в системе (5.47) возникает кратный резонанс, если выполнены следующие условия:
а) $\lambda=q \omega, q$ – целое число;
б) амплитуда внешнего возмущения $a$ – малая величина порядка $\varepsilon: a=O(\varepsilon)$.
Последнее утверждение мы не формулировали в явном виде, но оно использовалось самым существенным образом. В самом деле, вся процедура осреднения, как мы знаем, основана на предположении о медленном изменении амплитуды. Таким образом, для формального применения теории, изложенной в предыдущих пунктах этого параграфа, мы обязаны предположить малость амплитуды $a$.
В главе II мы рассматривали ситуацию, которая возникает в системе (5.46), когда амплитуда $a$ конечна. Пусть $\lambda=q \omega$. Тогда мы говорили, что имеет место резонанс $q$-го рода, если в системе (5.46) возмущающая сила частоты $\lambda=q \omega$ индуцирует колебания частоты $\omega$.
Для того чтобы исследовать этот вопрос методами, изложенными в данном параграфе, нам надо сначала представить решение уравнения (5.46) в виде
где
\[
\xi=\xi_{0}+\eta,
\]
\[
\xi_{0}=-\frac{a}{\lambda^{2}-\omega^{2}} \cos \lambda t .
\]
Тогда новая переменная $\eta$ удовлетворяет уравнению
\[
\ddot{\eta}+\omega^{2} \eta=\varepsilon \varphi\left(\eta-\frac{a}{\lambda^{2}-\omega^{2}} \cos \lambda t, \dot{\eta}+\frac{a \lambda}{\lambda^{2}-\omega^{2}} \sin t\right) \equiv \varepsilon \varphi^{*}(\eta, \dot{\eta}, \lambda t) .
\]
К уравнению (5.47′) мы можем применить стандартную методику. Для этого положим
\[
\eta=x \cos y, \quad \lambda=q \omega+\varepsilon h .
\]
Уравнения для новых переменных будут иметь следующий вид:
\[
\left.\begin{array}{rl}
\dot{x} & =-\frac{\varepsilon}{\omega} \varphi^{*}(x \cos y,-x \omega \sin y, z) \sin y, \\
\dot{y} & =\omega-\frac{\varepsilon}{\omega x} \varphi^{*}(x \cos y,-x \omega \sin y, z) \cos y, \\
\dot{z} & =\lambda .
\end{array}\right\}
\]
Правые части этой системы являются периодическими функциями $y$ и $z$ периода 2л. Для исследования системы (5.48) можно уже использовать методы данного параграфа. Полагая
\[
\theta=\frac{1}{q} z-y,
\]
мы придем к следующей системе уравнения относительно амплитуды $x$ и разности фаз $\theta$ :
\[
\left.\begin{array}{l}
\dot{x}=-\frac{\varepsilon}{\omega} \varphi^{*}\left(x \cos \left(\frac{z}{q}-\theta\right) ;-x \omega \sin \left(\frac{z}{q}-\theta\right) ; z\right) \cos \left(\frac{1}{q} z-\theta\right), \\
\theta=\varepsilon\left\{\frac{1}{\omega x} \varphi^{*}\left(x \cos \left(\frac{z}{q}-\theta\right) ;-x \omega \sin \left(\frac{z}{q}-\theta\right) ; z\right) \sin \left(\frac{z}{q}-\theta\right)+h\right\} .
\end{array}\right\}
\]
Правые части системы (5.49) – периодические функции $z$. Нетрудно установить, что период равен $2 \pi q$. Следовательно, укороченные уравнения Ван-дер-Поля будут иметь вид
\[
\begin{array}{l}
\dot{x}=-\frac{\varepsilon}{2 \pi q \omega} \int_{0}^{2 \pi q} \varphi^{*} \cos \left(\frac{z}{q}-\theta\right) d z \equiv \varepsilon \bar{X}(x, \theta), \\
\dot{\theta}=\frac{\varepsilon}{2 \pi q \omega x} \int_{0}^{2 \pi q} \varphi^{*} \sin \left(\frac{z}{q}-\theta\right) d z+\varepsilon h \equiv \varepsilon \bar{\vartheta}(x, \theta) .
\end{array}
\]
Полагая $\dot{x}=\hat{\theta}=0$, мы придем, разумеется, к тем же результатам, которые получаются методом Пуанкаре, если в нем ограничиться вычислением нулевого приближения,
