В качестве примера для приложений методов данного параграфа рассмотрим известное уравнение Ван-дерПоля
\[
\ddot{x}+\lambda^{2} x=\varepsilon\left(1-a x^{2}\right) \dot{x}
\]

и построим его возможные периодические режимы в нулевом приближении. После преобразования (5.7) уравнение (5.33) примет вид
\[
\frac{d^{2} x}{d \tau^{2}}+x\left(1+2 g_{1} \varepsilon+\ldots\right)=\varepsilon\left(1-a x^{2}\right) \frac{d x}{d \tau} \frac{1+g_{1} \varepsilon+\ldots}{\lambda} .
\]

Разыскивая решение в виде ряда (5.11), где функции $x^{(i)}$ удовлетворяют условиям (5.10), мы найдем, что
\[
x^{(0)}=c \cos \tau \text {, }
\]

а $x^{(1)}$ удовлетворяет уравнению
\[
\frac{d^{2} x^{(1)}}{d \tau^{2}}+x^{(1)}=-\frac{1}{\lambda}\left(1-a c^{2} \cos ^{2} \tau\right) c \sin \tau-2 g_{1} c \cos \tau .
\]

Раскладывая правую часть уравнения (5.34′) в ряд Фурье, получим
\[
\frac{d^{2} x^{(1)}}{d \tau^{2}}+x^{(1)}=-\frac{c}{\lambda}\left\{\sin \tau\left(1-\frac{a \iota^{2}}{4}\right)-\sin 3 \tau \frac{a c^{2}}{4}\right\}-2 g_{1} c \cos \tau .
\]

Для того чтобы уравнение (5.35) имело периодические решения периода $2 \pi$, необходимо и достаточно, чтобы разложение правой части в ряд Фурье не содержало первых гармоник, т. е. чтобы коэффициенты при $\sin \tau$ и $\cos \tau$ были равны нулю. Это дает два уравнения для определения $c$ и $g_{1}$, откуда
\[
g_{1}=0, \quad c=\left\{\begin{array}{l}
c_{1}=0, \\
c_{2}=\frac{2}{\sqrt{a}} .
\end{array}\right.
\]

Таким образом, уравнение (5.35) имеет два стационарных режима
\[
x_{1} \equiv 0, \quad x_{2}=\frac{2}{\sqrt{a}} \cos \tau .
\]

Первый из стационарных режимов – это состояние покоя. Второй стационарный режим – это режим автоколебаний.

Мы видим, что уравнение (5.33) допускает автоколебательный режим только в том случае, когда а положительно.