Рассмотрим теперь уравнение
\[
\ddot{z}+f(z, \tau)=\mu \varphi(z, \dot{z}, t), \quad \tau=\mu t+\tau_{0}
\]

и будем предполагать, что энергия этой системы достаточно велика. Таким образом, предполагается, что при $\mu=0$ движение маятника (7.40) вращательное.

Параметры $\Omega$, характеризующий энергию системы, и $\mu$, характеризующий возмущающие воздействия, считаются независимыми; поэтому для исследования уравнения (7.39) можно построить теорию, аналогичную той, которая была развита в § 2 этой главы, опираясь на асимптотические решения порождающего уравнения (7.1)
\[
\ddot{z}+f\left(z, \tau_{0}\right)=0 .
\]

Будем считать, что решение порождающего уравнения имеет вид
\[
z=Q(x, y, \tau),
\]

где
\[
Q=y+Z(x, y, \tau),
\]

здесь $x$ – произвольная постоянная, а
\[
y=\omega(x, \tau)\left(t+t_{0}\right),
\]
$\omega(x, \tau)$ – нормирующий множитель, выбранный так, чтобы функция $Z$ была периодической функцией переменного $y$ периода $2 \pi$. Сопоставляя выражение (7.41) с асимптотическим представлением (7.28), мы получим
\[
\left.\begin{array}{l}
\omega=\lambda, \quad x=\frac{1}{\lambda^{2}}, \quad \omega=\frac{1}{\sqrt{x}}, \\
Z(x, y, \tau)=\bar{\Psi}(\tau) y-\bar{\Phi}(y, \tau)+O\left(\frac{1}{\lambda^{3}}\right)=Z(y, \tau)+O\left(\frac{1}{\lambda^{3}}\right) .
\end{array}\right\}
\]

Таким образом, с точностью до $O\left(1 / \lambda^{3}\right)$ функция $Z$ не зависит от $x$. Определим еще $z$ :
\[
Z=\omega Z_{y},
\]

или, используя формулы (7.42),
\[
\dot{Z}=\frac{1}{\sqrt{x}} Z_{y} .
\]

Используя замену переменных, определенную формулами (7.41) и (7.44), составим уравнения относительно новых переменных $x$ и $y$ (см. § 3 этой главы):
\[
\left.\begin{array}{l}
\dot{x}=-\frac{\mu}{\Delta}\left\{\varphi Q_{y}+\xi_{1}\right\}=\mu X(x, y, \tau), \\
\dot{y}=\omega+\frac{\mu}{\Delta}\left\{\varphi Q_{x}+\xi_{1}\right\}=\mu Y(x, y, \tau),
\end{array}\right\}
\]

где
\[
\left.\begin{array}{l}
\xi_{1}=-\omega_{\tau} Q_{y}^{2}+\left(Q_{\tau} Q_{y y}-Q_{y \tau} Q_{y}\right) \omega, \\
\xi_{2}=-\omega_{\tau} Q_{y} Q_{x}+\omega_{x} Q_{y} Q_{\tau}+\omega\left(Q_{\tau} Q_{x y}-Q_{y \tau} Q_{x}\right), \\
\Delta=\omega\left(Q_{x} Q_{y y}-Q_{x y} Q_{y}\right)-\omega_{x} Q_{y}^{2} .
\end{array}\right\}
\]

Используя далее формулы (7.42), получим
\[
\begin{aligned}
Q & =y+x Z(y, \tau), & & \\
Q_{y} & =1+x Z_{y}, & Q_{y}^{2} & =1+2 x Z_{y}+x^{2} Z_{y}^{2}, \\
Q_{y y} & =x Z_{y y}, & Q_{x y} & =Z_{y}, \omega_{\tau}=0, \\
Q_{\tau} & =x Z_{\tau}, & Q_{y \tau} & =x Z_{y \tau},
\end{aligned}
\]

и, следовательно, выражения (7.46) можно переписать в следующем виде:
\[
\left.\begin{array}{l}
\Delta=\frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{x^{3}}}+\sqrt{x}\left(Z Z_{y}-\frac{1}{2} Z_{y}^{2}\right)=\frac{1}{2} \omega^{3}+\frac{1}{\omega}\left(Z Z_{y}-\frac{1}{2} Z_{y}^{2}\right), \\
\xi_{1}=\sqrt{x}\left[-Z_{y \tau}+x\left(Z_{\tau} Z_{y y}-Z_{y \tau} Z_{y}\right)\right], \\
\xi_{2}=-\frac{Z_{\tau}}{2 \sqrt{x}}+\sqrt{x}\left(\frac{Z_{y} Z_{\tau}}{2}-Z Z_{y \tau}\right) .
\end{array}\right\}
\]

Из формул (7.47) следует, что

или
\[
\left.\begin{array}{l}
\Delta=\frac{1}{2} \omega^{3}+O\left(\frac{1}{\omega}\right) \\
\Delta=\frac{1}{2 \sqrt{x}}+O(\sqrt{x}) .
\end{array}\right\}
\]