Будем изучать движение осесимметричного спутника, входящего в плотные слои атмосферы. Условимся считать, что спутник имеет большой запас статической устойчивости. Қак мы это увидим ниже, данное предположение существенно.

Задача, рассматриваемая в этом разделе, очень близқа к предыдущей: точно так же основными силами, дейсгвующими на спутник, будет сила тяжести и аэродинамические силы. Однако в этой задаче есть одна существенная особен, ность, качественно отличающая характер изучаемого движения от того, которое было изучено в предыдущем разделе. Если аппарат, обладающий аэродинамической стабилизацией, входит в плотные слои атмосферы, то хаотическое вращение постепенно замедляется и переходит в колебательное движение. Следовательно, в конце последнего оборота (при подходе к Земле) движение спутника будет носить не вращательный, а колебательный характер. Это обстоятельство качественно отличает особенности асимптотики, которая будет изучаться в этом разделе от той, что была рассмотрена ранее.

Уравнение движения мы снова можем записать в виде (8.32). Однако последний отрезок траектории аппарата, проходящий в плотных слоях атмосферы, невелик, и поле тяготения можно считать постоянным, поэтому нет необходимости исполь; зовать полярную систему координат.

Введем обычную декартову систему координат (рис. 36), и уравнения движения запишем тогда в виде
\[
\frac{d \boldsymbol{r}}{d t}=\boldsymbol{v}, \quad \frac{d \boldsymbol{v}}{d t}=-g \boldsymbol{y}^{0}+\boldsymbol{F}
\]

где $\boldsymbol{r}$ и $\boldsymbol{v}$, как и ранее, обозначают радиус-вектор и, скорость центра масс аппарата относительно выбранного начала отсчета, величина $g$ – это напряженность гравитационного поля, а $\boldsymbol{F}$ аэродинамическая сила. Кинематические условия мы получим, записывая первое из уравнений системы (8.42) в проекциях на оси декартовой системы координет
\[
\frac{d x}{d t}=v \cos \theta, \quad \frac{d y}{d t}=v \sin \theta .
\]

Аэродинамическую силу $\boldsymbol{F}$, действующую на аппарат, мы представим в следующем виде:
\[
\boldsymbol{F}=-\frac{\rho(y) v^{2}}{2 m} S c_{x}(v, y, \alpha) \boldsymbol{V}^{0}+\frac{\rho(y) v^{2}}{2 m} S c_{y}(v, y, \alpha) \boldsymbol{n}^{0} .
\]

Первое слагаемое, стоящее в правой части, – это уже известное нам лобовое сопротивление. В его выражении сохранены обозначения предыдущего пункта. Второе слагаемое – это подъемная сила, величина $c_{y}$ называется коэффициентом подъемной силы. Эту безразмерную величину будем считать нечетной функцией угла атаки $\alpha$. Подъемная сила направлена по нормали к траектории вдоль вектора $\boldsymbol{n}^{0}$. На рис. 36 пунктирный вектор $\xi$ дает направление оси аэродинамической симметрии. На этом чергеже показано также направление отсчета угла атаки $\alpha ; m$, как и ранее, обозначает массу аппарата. Так как в данной задаче линия местного горизонта совпадает с неподвижной осью $O x$, то
\[
\frac{d v}{d t}=\frac{d v}{d t} \boldsymbol{v}^{0}+v \frac{d \theta}{d t} \boldsymbol{n}^{0}
\]

и, следовательно, динамические уравнения, которые получаются из второго уравнения системы (8.42), если его записать в проекциях на оси $O x$ и $O y$, будут в этом случае такими:
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d v}{d t}=-g \sin \theta-\frac{\rho v^{2}}{2 m} S c_{x}(y, v, \alpha) \equiv f_{1}(v, \theta, y, \alpha), \\
\frac{d \theta}{d t}=-\frac{g \cos \theta}{v}+\frac{\rho v}{2 m} S c_{y}(y, v, \alpha) \equiv f_{2}(v, \theta, y, \alpha) .
\end{array}\right\}
\]

Уравнение моментов аналогично (8.36) запишем в виде
\[
\frac{d^{2} \theta}{d t^{2}}=M\left(v, y \alpha, \frac{d \theta}{d t}\right) .
\]

Отличие уравнения (8.45) or (8.36) состоит в том, что тедерь мы необходимо должны учесть зависимость аэродинамического момента от угловой сксрости колебаний, поскольку последняя велика, а атмосфера достаточно плотная.

В прикладной аэродинамике величину аэродинамического момента обычно представляют в виде двух слагаемых
\[
M\left(
u, y, \alpha, \frac{d \theta}{d t}\right)=\frac{\rho v^{2}}{2 J} \operatorname{Slm}_{z}(v, y, \alpha)+\frac{\rho v}{2 J} \operatorname{Slm}_{z}^{\omega}(v, y) \frac{d \vartheta}{d t} .
\]

Первое слагаемое иногда называется статическим моментом, второе – демпфирующим, $J$ – полярный момент инерции аппарата, $m_{2}(v, y, \alpha)$ – безразмерный коэффициент аэродинамического момента, $l$ – некоторый характерный линейный размер (например, длина аппарата). Величина $m_{z}^{\omega}(v, y) \frac{d \vartheta}{d t}$ определяет основную характеристику демпфирующего момента. Зависимость величины демпфирующего момента от угловой скорости обычно считается линейной. Величину $\vartheta$ принято называть углом тангажа.

Так как углы $\vartheta, \alpha$ и $\theta$ связаны конечным соотношением (см. рис. 36)
\[
\vartheta=\alpha+\theta,
\]

To
\[
\frac{d^{2} \theta}{d t^{2}}=\frac{d^{2} \alpha}{d t^{2}}+\frac{d^{2} \theta}{d t^{2}}=\frac{d^{2} \alpha}{d t^{2}}+\varphi\left(\theta, v, y, \alpha, \frac{d \alpha}{d t}\right),
\]

где
\[
\varphi=\frac{d}{d t}\left\{-\frac{g \cos \theta}{v}+\frac{\rho v}{2 m} S c_{y}\right\} \equiv \frac{d f_{2}}{d t} .
\]

Используя равенства (8.46) и (3.47), перепишем уравнение моментов в виде
\[
\frac{d^{2} \alpha}{d t^{2}}+f_{3} \frac{d \alpha}{d t}+f_{4}^{*}(\theta, v, y, \alpha)=\tilde{\alpha}(v, \theta, y),
\]

где
\[
\begin{array}{l}
f_{3}=\frac{\rho v}{2 J} S l m_{z}^{\omega}-\frac{\rho v}{2 m} S \frac{\partial c_{y}}{\partial \alpha}, \\
f_{4}^{*}=\frac{\rho v^{2}}{2 J} S l m_{z}-\frac{\dot{S} c_{y}}{2 m}\left\{\rho g \sin \theta-\frac{d}{d t}(\rho v)\right\}, \\
\tilde{\alpha}=\frac{g^{2} \sin 2 \theta}{2 v^{2}} .
\end{array}
\]

Система уравнений шестого порядка (8.43), (8.44) и (8.48) дает полное описание плоского движения. Мы условились изучать движение аппарата, обладающего большим запасом статической устойчивости. В этом случае величина $f_{4}^{*}$ всегда положительна и велика. Следовательно, мы можем положить
\[
f_{4}^{*}=\lambda^{2} f_{4},
\]

где $\lambda^{2}$ – некоторый большой параметр.
Далее мы снова сделаем замену независимой переменной
\[
t=\frac{\tau}{\lambda}=\varepsilon \tau \text {. }
\]

После этой замены система (8.43), (8.44) и (8.48) примет

следующий вид:
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d x}{d \tau}=\varepsilon v \cos \theta, \quad \frac{d y}{d \tau}=\varepsilon v \sin \theta, \\
\frac{d v}{d \tau}=\varepsilon f_{1}(v, \theta, y, \alpha), \quad \frac{d \theta}{d \tau}=\varepsilon f_{2}(v, \theta, y, \alpha), \\
\frac{d^{2} \alpha}{d \tau^{2}}+\varepsilon f_{3} \frac{d \alpha}{d \tau}+f_{4}(v, \theta, y, \alpha)=\varepsilon \tilde{\alpha} .
\end{array}\right\}
\]

При $\varepsilon=0$ из системы (8.49) получаем
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d^{2} \alpha}{d \tau^{2}}+f_{4}(v, \theta, y, \alpha)=0, \quad v=\text { const }=v_{0}, \\
\theta=\text { const }=\theta_{0}, \quad y=\text { const }=y_{0} .
\end{array}\right\}
\]

Будем считать, что решение системы (8.50) при условии, что все величины $v, \theta$ и $y$-некоторые постоянные, нам известно и что оно имеет вид
\[
\alpha=q(c, \psi, v, \theta, y),
\]

где
\[
\psi=\omega(c, v, \theta, y)\left(\tau+\tau_{0}\right)
\]

здесь $c$ – постоянная интегрирования, которую мы будем называть амплитудой, $\tau_{0}$ – аддитивная постоянная. Так как движение, по предположению, является колебательным, то функция $q$ будет периодической функцией переменной $\tau$ некоторого периода $T(c)$. Величина $\omega(c, v, \theta, y)$ служит нормирующим множителем: функция $q$ по переменной $\psi$ имеет период, равный $2 \pi$. Знание общего решения системы в предположении, что $v=$ const, $\theta=$ const и $y=$ const позволяет использовать стандартную процедуру метода осреднения.

Для того чтобы не усложнять изложения, ограничимся изучением только того случая, когда колебания малы и функцию $f_{6}$ можно представить в виде

В этом случае
\[
f_{4}(v, \theta, y, \alpha)=\omega^{2}(v, \theta, y) \alpha .
\]
\[
\alpha=c \cos \psi, \quad \psi=\omega(v, \theta, y)\left(\tau+\tau_{0}\right),
\]

и уравнение (8.50) будет теперь таким:
\[
\frac{d^{2} \alpha}{d \tau^{2}}=-=-\omega^{2} \alpha .
\]

Так как у тела, обладающего аэродинамической симметрией, $m_{z}$ и $c_{y}$ – нечетные функции угла атаки, то линеаризация этих функций донустима и в том сључае, когда мы рассматриваем квадратичную теорию, поскопьку, отбросив в уравнении (8.50)
члены третьего порядка малости относительно угла атаки $\alpha$, мы тем не менее придем к уравнению (8.50′).

В системе (8.49) перейдем теперь от переменной $\alpha$ к переменным $c$ и $\psi$. Для этого к равенству (8.51) добавим еще такое:
\[
\frac{d \alpha}{d \tau}=-c \omega(v, \theta, y) \sin \psi \text {. }
\]

Из равенств (8.51) и (8.52) находим
\[
\left.\begin{array}{l}
c=\sqrt{\alpha^{2}+\frac{1}{\omega^{2}(v, \theta, y)}\left(\frac{d \alpha}{d \tau}\right)^{2}}, \\
\psi=-\operatorname{arctg}\left\{\frac{1}{\omega \alpha} \frac{d \alpha}{d \tau}\right\} .
\end{array}\right\}
\]

Вычислим производную первой из величин, определяемых равенством (8:53), в силу уравнений (8.49)
\[
\begin{array}{l}
\frac{d c}{d \tau}=\frac{\alpha \frac{d \alpha}{d \tau}+\frac{d \alpha}{d \tau} \frac{d^{2} \alpha}{d \tau^{2}} \frac{1}{\omega^{2}}-\left(\frac{d \alpha}{d \tau}\right)^{2}\left\{\frac{\partial \omega}{\partial v} \frac{d v}{d \tau}+\frac{\partial \omega}{\partial \theta} \frac{d \theta}{d \tau}+\frac{\partial \omega}{\partial y} \frac{d y}{d \tau}\right\} \frac{1}{\omega^{3}}}{\sqrt{\alpha^{2}+\frac{1}{\omega^{2}}\left(\frac{d \alpha}{d \tau}\right)^{2}}}= \\
=\frac{\varepsilon}{c}\left\{-\frac{f_{3}}{\omega^{2}}\left(\frac{d \alpha}{d \tau}\right)^{2}+\frac{d \alpha}{d \tau} \tilde{\alpha}-\left(\frac{d \alpha}{d \tau}\right)^{2}\left[\frac{\partial \omega}{\partial v} f_{1}+\frac{\partial \omega}{\partial \theta} f_{2}+\frac{\partial \omega}{\partial y} v \sin \theta\right] \frac{1}{\omega^{3}}\right\}= \\
=-\varepsilon c \sin ^{2} \Psi\left\{f_{3}+\frac{1}{\omega}\left[\frac{\partial \omega}{\partial v} f_{1}+\frac{\partial \omega}{\partial \theta} f_{2}+\frac{\partial \omega}{\partial y} v \sin \theta\right]\right\}- \\
-\varepsilon \omega \sin \psi \tilde{\alpha} \equiv-\varepsilon c \sin ^{2} \psi f_{5}(v, \theta, y, c \cos \psi) . \\
\end{array}
\]

Продифференцируем второе из уравненй (8.53)
\[
\begin{array}{r}
\frac{d \psi}{d \tau}=-\frac{\frac{d^{2} \alpha}{d \tau^{2}} \omega \alpha-\left(\frac{d \alpha}{d \tau}\right)^{2} \omega-\varepsilon \frac{d \alpha}{d \tau} \alpha\left\{\frac{\partial \omega}{\partial \tau} f_{1}+\frac{\partial \omega}{\partial \theta} f_{2}+\frac{\partial \omega}{\partial y} v \sin \theta\right\}}{\left[1+\frac{1}{\omega^{2} \alpha^{2}}\left(\frac{d \omega}{d \tau}\right)^{2}\right] \omega^{2} \alpha^{2}}= \\
=-\frac{1}{\omega^{2} c^{2}}\left\{-\omega^{2} c^{2}+\frac{\varepsilon}{2} f_{3} \sin 2 \psi \cdot c^{2} \omega^{2}-\frac{\varepsilon c^{2} \omega}{2} \sin 2 \alpha\left[\frac{\partial \omega}{\partial v} f_{1}+\right.\right. \\
\left.\left.+\frac{\partial \omega}{\partial \theta} f_{2}+\frac{\partial \omega}{\partial y} v \sin \theta\right]\right\}-\frac{\varepsilon}{\omega c} \tilde{\alpha} \cos \psi
\end{array}
\]

й окончательно
\[
\begin{aligned}
\frac{d \psi}{d \tau} & =\omega-\frac{\varepsilon}{2} \sin 2 \psi\left\{f_{3}-\frac{1}{\omega}\left[\frac{\partial \omega}{\partial v} f_{1}+\frac{\partial \omega}{\partial \theta} f_{2}+\frac{\partial \omega}{\partial y} v \sin \theta\right]\right\}- \\
& -\frac{\varepsilon}{\omega c} \tilde{\alpha} \cos \psi \equiv \omega-\varepsilon\left\{f_{5}(v, \theta, y, c \cos \psi) \sin 2 \psi+\frac{1}{\omega c} \tilde{\alpha} \cos \psi\right\} .
\end{aligned}
\]

Таким образом, вместо системы (8.49) мы пришли к другой системе, в которой последнее уравнение второго порядка заменили двумя уравнениями первого порядка (8.54) и (8.55), а в правых частях второго и третьего уравнений вместо $\alpha$ подставлено его выражение $c \cos \psi$. Преобразованная система вполне эквивалентна исходной, но является системой с вращающейся фазой; она содержит пять медленных переменных $x, y, v, \theta, c$ и одну быструю- $\psi$. Правые части этой системы представляют собой периодические функции $\psi$ периода $2 \pi$. Заметим, что первое уравнение этой системы интегрируется независимо от других, так как $x$ не входит в правые части остальных уравнений. Теперь ее исследование может быть проведено с использованием стандартной процедуры разделения движения. Ограничимся рассмотрением только первого приближения; для этого достаточно осреднить правые части по быстрой переменной $\psi$.

Первые два уравнения не содержат угла атаки и останутся без изменения; их удобно записать, возвращаясь к переменному $t$ :
\[
\frac{d x}{d t}=v \cos \theta, \quad \frac{d y}{d t}=v \sin \theta .
\]

Рассмотрим третье уравнение этой системы. Используя выражение для $f_{1}$, после усреднения мы его приведем к следующему виду:
\[
\frac{d v}{d t}=-g \sin \theta-\frac{\rho v^{2} S}{4 \pi m} \int_{0}^{2 \pi} c_{x}(y, v, c \cos \psi) d \psi .
\]

Коэффициент подъемной силы для малых значений угла атаки $\alpha$ выражается как
\[
c_{x}=c_{x 0}+k \alpha^{2}, \quad k>0 .
\]

Следовательно, после усреднения уравнение (8.57) примет форму
\[
\frac{d v}{d t}=-g \sin \theta-\frac{\rho v^{2} S}{2 m}\left(c_{x 0}+\frac{k c^{2}}{2}\right)
\]

или, если мы ограничиваемся линейной теорией, то
\[
\frac{d v}{d t}=-g \sin \theta-\frac{\rho v^{2} S}{2 m} c_{x 0}(v, y, \theta) .
\]

Рассмотрим теперь четвертое уравнение системы (8.49), полагая в нем $c_{y}=c_{y}^{a} \cdot \alpha$. После осреднения оно примет вид
\[
\frac{d \theta}{d t}=-\frac{g \cos \theta}{v} .
\]

Итак, если мы принимаем линейную теорию, то движение центра масс в первом приближении может быть описано независимо от движения относительно центра масс, причем уравнение в проекциях на нормаль (8.59) записывается так, как если бы движение происходило в пустоте и все действие аэродинамических сил сводилось к лобовому сопротивлению, вычисляемому для нулевого угла атаки. В квадратичной теории уравнение для проекций на касательную к траектории (8.58) содержит квадрат амплитуды. Поэтому в этом случае уже в первом приближении нельзя разделить движение центра масс и движение относительно центра масс.

Рассмотрим уравнение (8.54). После осреднения оно примет следующий вид:
\[
\frac{d c}{d \tau}=-\frac{\varepsilon c f_{3}}{2}-\frac{\varepsilon c}{2 \omega}\left\{\frac{\partial \omega}{\partial v} \tilde{f}_{1}+\frac{\partial \omega}{\partial \theta} f_{2}+\frac{\partial \omega}{\partial y} v \sin \theta\right\} .
\]

При осреднении слагаемого, содержащего $f_{1}$, была принята линейная теория: $\bar{f}_{1}$ означает, что в выражении лобового сопротивления мы приняли $c_{x}=c_{x 0}, \tilde{f}_{2}=-\frac{g \cos \theta}{v}$. Таким образом, величина, стоящая в фигурной скобке, равна $\frac{1}{\varepsilon} \frac{d \omega}{d t}$, где производная угловой скорости $\omega$ вычислена в силу уравнений (8.56), (8.58′) и (8.59). На этом основании уравнение (8.60) мы перепишем в виде (возвращаясь к аргументу $t$ )
\[
\frac{1}{c} \frac{d c}{d t}=-\frac{1}{2} f_{3}-\frac{1}{2 \omega} \frac{d \omega}{d t} .
\]

В этом уравнении переменные разделены, и после интегрирования мы получаем
\[
c=\frac{c_{0}}{\sqrt{\omega}} e^{-\frac{1}{2} \int_{0}^{t} f_{3} d t},
\]

где $c_{0}$ – произвольная постоянная – в данном случае начальное значение амплитуды угла атаки.

Таким образом, в линейной теории первое приближение осредненных уравнений позволяет рассчитать траекторию центра масс независимо от колебательного движения аппарата и найти, следовательно, зависимость $\omega(t)$ и $f_{3}(t)$. Для расчета амплитуды колебательного движения мы должны только вычислить одну квадратуру $\int f_{3} d t$, после чего для амплитуды колебаний $c$ получим явное выражение.

В квадратичной теории переменные в уравнении (8.60) уже не разделяются. Рассмотрим снова уравнение (8.59) и перепишем его с учетом членов второго порядка
\[
\frac{d c}{d \tau}=-\varepsilon\left\{c f_{3} \sin ^{2} \psi+\frac{c \sin ^{2} \psi}{\omega} \frac{d \omega}{d t}-\frac{c \sin ^{2} \psi}{\omega} \cdot \frac{\rho v^{2}}{2 m} S k c^{2} \cos ^{2} \Psi\right\},
\]

где $d \omega / d t$ по-прежнему означает производную величины $\omega$ в силу уравнений (8.56), (8.58′) и (8.59). После осреднения это уравнение принимает вид
\[
\frac{d c}{d t}=-\frac{c}{2} f_{3}-\frac{c}{2 \omega} \frac{d \omega^{\prime}}{d t}+\frac{c^{3}}{8 \omega} \frac{\rho v^{2} S k}{2 m} .
\]

Мы видим, что в уравнении (8.62) переменные уже не разделяются. Для определения закона изменения амплитуды нам придется в этом случае численно интегрировать уравнение (8.62).

Рассмотрим, наконец, последнее из уравнений, описывающих движение аппарата – уравнение (8.55), которое дает закон изменения фазы. В линейюом случае оно выглядит очень просто
\[
\frac{d \psi}{d \tau}=\omega
\]

откуда
\[
\psi^{\prime}(t)=\psi_{0}+\lambda \int_{0}^{t} \omega(t) d t .
\]

В рамках квадратичной теории выражение (8.63) несколько усложнится за счет слагаемого в выражении $f_{1}$, которое содержит множителем величину $c^{2} k^{2} \cos ^{2} \psi$.

Подведем теперь некоторые итоги. Предположим, что мы ограничиваемся первым приближением. Тогда в линейной теории нам достаточно численно рассчитать решение системы трех уравнений первого порядка (напомним, что уравнение, определяющее дальность $x$, интегрируется независимо), после чего расчет колебательного : движения производится по формулам (8.61) и (8.63), требующим расчета квадратур.

В квадратичной теории мы вынуждены совместно интегрировать систему четырех уравнений
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d y}{d t}=v \sin \theta, \\
\frac{d v}{d t}=-g \sin \theta-\frac{\rho^{2} S}{2 m}\left(c_{x 0}+\frac{k c^{2}}{2}\right), \\
\frac{d \theta}{d t}=-\frac{g \cos \theta}{v}, \\
\frac{d c}{d t}=-\frac{c}{2}\left(f_{3}+\frac{1}{\omega} \frac{d \omega}{d t}\right)+\frac{c^{3}}{8 \omega} \frac{\rho v^{2}}{2 m} S k .
\end{array}\right\}
\]

Дальность $x$ и фаза $\psi$ определяются квадратурами.
Для исследования более точных эффектов, например для изучения влияния подъемной силы на величину дальноєти в предположении колебательного движения, мы должны изучить следующее приближение. Заметим также, что первое приближение линейной теории не может дать никакой информации о рассеивании элементов траектории вследствие колебательного движения, поскольку среднее значение подъемной силы в этом приближении равно нулю. Все подобные вопросы должны решаться в следующем приближении.