Построение теорий, позволяющих найти приближенное решение задач оптимального управления для систем уравнений, содержащих малые параметры, представляет интерес во всех отношениях. Прежде всего, существует большой класс технических задач, в которых дифференциальные уравнения, описывающие движение управляемой системы, содержат малые параметры, и поэтому вопрос о соответствии решения, которое получено при нулевых значениях параметров, точному решению всегда актуален. Более того, практически всегда мы имеем дело с идеализированными моделями управляемых систем, и поэтому развитие теории оптимального управления в том случае, когда дифференциальные ограничения содержат малые параметры, представляется важным с прикладной точки зрения. Далее, задачи оптимального управления относятся к числу некорректных задач. По-видимому, отбрасывание малых величин в некоторых случаях может привести к появлению новых качественных особенностей.

В данной работе мы рассматриваем только один простейший пример таких систем, который относится к частному типу задач, охватываемых излагаемой теорией.

Рассмотрим задачу отыскания такой функции $u(t)$, которая доставляет минимум функционалу
\[
I=\int_{0}^{T} F(x, u) d t
\]

при следующих ограничениях:
a) дифференциальные связи
\[
\dot{x}=\varepsilon X(t, x, u),
\]
б) фазовые ограничения
\[
x \in G_{x},
\]
в) ограничения на управление
\[
u \in G_{u} .
\]

Здесь $x$ и $u$ – некоторые векторы размерностей $n$ и $\dot{m}$ соответственно, вектор $x$ называется фазовым вектором, $u$ – управляющим вектором или управлением, $G_{x}$ и $G_{u}$ – некоторые множества.

K перечисленным условиям должны быть добавлены еще условия при $t=0$ и $t=T$. Условимся их фиксировать
\[
\left.\begin{array}{ll}
t=0 & x=x_{0}, \\
t=T & x=x_{T}
\end{array}\right\}
\]

В такой постановке рассматриваемая задача допускает простую механическую интерпретацию: найти такое управление $u(t)$, которое переводит систему, движение которой описывается системой уравнении (9.7), за зремя $T$ из состояния $x_{0}$ в состояние $x_{T}$ так, чтобы функционал $I$ (стоимость перехода из $x_{0}$ в $x_{T}$ ) был минимален и чтобы фазовая траектория этой системы не покидала допустимой области $G_{x}$.

Предположим теперь, что множество $G_{u}$ включает только такие функции $u(t)$, производная которых мала, а функция $X(t, x, u)$ является периодической функцией времени $l$ периода $2 \pi$. Тогда возникает та ситуация, о которой говорилось в предыдущем разделе.

В этом случае мы можем получить приближенное решение задачи, заменяя уравнения (9.7) осредненными
\[
\dot{x}=\varepsilon \bar{X}(x, u) .
\]

Предположим, что $G_{u}$ не содержит ограничений на производную функцию $u(t)$. Тогда методы усреднения можно использовать одним из следующих способов.
a) Решаем задачу, в которой система уравнений (9.7) заменена системой (9.11); в результате находим функцию $u(t)$. Если окажется апостериори, что производная функция $u(t)$ мала, то у нас есть интуитивная уверенность в том, что управление, найденное при помощи процедуры усреднения системы (9.7), есть некоторое допустимое управление, близкое к оптимальному. Заметим, что для широкого класса технических задач такое «решение задачи» оказывается досгаточным.
б) Если в результате решения оптимальной задачи производная функция $u(t)$ оказывается большой (например, функция $u(t)$ может просто оказаться разрывной), то метод усреднения неприменим. Тем не менее описанная процедура может оказаться полезной для построения возможных управлений. Предположим, что и является скаляром. Введем при помощи уравнения
\[
\dot{u}=\varepsilon \varphi(t),
\]

где $|\varphi| \leqslant \varphi^{*}$, новое управление $\varphi(t)$, а функцию $u(t)$ отнесем к числу фазовых координат, $\varphi^{*}$ – некоторое заданное число. Предположим, что вариационную за-
Рис. 38. дачу с ограничениями (9.11), (9.12) мы можем решить эффективно для любого значения $\varphi^{*}$. Тогда каждому значению $\varphi^{*}$ будет отвечать некоторое значение функционала $I\left(\varphi^{*}\right)$. Если эта зависимость имеет вид, изображенный на рис. 38 , т. е. величина производной $d I / d \varphi^{*}$ оказывается мӓлой, то в целом ряде технических задач этого факта оказывается достаточно для построения возможного управления, близкого к оптимальному (по функционалу).
в) Введение ограничения (9.12) сужает множество $G_{u}$. Остановимся подробнее на том случае, когда подобное сужение множества $G_{u}$ сохраняет задачу в такой форме, что для нее оказывается возможным использовать принцип максимума Л. С. Понтрягина.

Согласно принципу максимума оптимальное управление определяется из условия максимума функции
\[
H=\varepsilon \bar{X}(x, u) p+\varepsilon \varphi q-F(x, u),
\]

где $p$ и $q$-множители Лагранжа (импульсы), которые удовлетворяют следующей системе уравнений:
\[
\left.\begin{array}{c}
\dot{p}=-\frac{\partial H}{\partial x}=-\varepsilon \frac{\partial \bar{X}(x, u)}{\partial x} p+\frac{\partial F}{\partial x}, \\
\dot{q}=-\frac{\partial H}{\partial u}=-\varepsilon \frac{\partial \vec{X}(x, u)}{\partial u} p+\frac{\partial F}{\partial u} .
\end{array}\right\}
\]

Из вида функции $H$ следует, что новое управление $\varphi(t)$ должно быть выбрано из условий
\[
\left.\begin{array}{lll}
\varphi=\varphi^{*}, & \text { если } & q>0, \\
\varphi=-\varphi^{*}, & \text { если } & q<0 .
\end{array}\right\}
\]

Итак, в рассматриваемом случае задача сводится к решению некоторой краевой задачи для системы уравнений (9.11), (9.12) и (9.13). Краевые условия – это условия трансверсальности. Например, если рассматривается задача о переходе системы из состояния $x_{0}$ в состояние $x_{T}$, то краевая задача будет формулироваться следующим образом:
\[
t=0\left\{\begin{array}{l}
x=x_{0}, \\
q=0,
\end{array} t=T\left\{\begin{array}{l}
x=x_{T}, \\
q=0 .
\end{array}\right.\right.
\]

Примечание. Если исходная постановка вариационной задачи допускает применение принципа максимума, то можно сначала выписать всю систему уравнений сопряженной задачи
\[
\dot{p}=-\varepsilon \frac{\partial X}{\partial x} p,
\]

где $u$ определяется из условия
\[
H=\max _{u} H(x, p, u, t)=\max _{u}\{\varepsilon X(x, u, t) p-F(x, u)\} .
\]

Правые части полученной системы уравнений будут периодическими функциями $t$. Множител: Лагранжа будут функциями, которые изменяются медленно. Условие (9.18) нам покажет, будет ли функция $u(t)$ также изменяться медленно. В последнем случае мы сможем применить метод усреднения непосредственно к (9.7) и (9.17).