Перейдем теперь к рассмотрению системы с двумя вращающимися фазами. Подобно тому как мы это делали в предыдущем параграфе, снова будем разыскивать некоторую замену переменных
\[
\left.\begin{array}{l}
x=\bar{x}+\varepsilon u_{1}(\bar{x}, \bar{y}, \bar{z})+\varepsilon^{2} u_{2}+\ldots, \\
y=\bar{y}+\varepsilon v_{1}(\bar{x}, \bar{y}, \bar{z})+\varepsilon^{2} v_{2}+\ldots, \\
z=\bar{z}+\varepsilon w_{1}(\bar{x}, \bar{y}, \bar{z})+\varepsilon^{2} w_{2}+\ldots,
\end{array}\right\}
\]

которая позволяет уравнения для медленных движений отделить от уравнений для быстрых движений. Другими словами, система относительно новых переменных $\bar{x}, \bar{y}$ и $\bar{z}$ должна иметь вид
\[
\left.\begin{array}{rl}
\dot{\bar{x}} & =\varepsilon A_{1}(\bar{x})+\varepsilon^{2} A_{2}(\bar{x})+\ldots, \\
\dot{\bar{y}} & =\omega(\bar{x})+\varepsilon B_{1}(\bar{x})+\varepsilon^{2} B_{2}(\bar{x})+\ldots, \\
\dot{\bar{z}} & =\lambda(\bar{x})+\varepsilon C_{1}(\bar{x})+\varepsilon^{2} C_{2}(\bar{x})+\ldots .
\end{array}\right\}
\]

Функции $u_{i}(\bar{x}, \bar{y}, \bar{z}), v_{i}(\bar{x}, \bar{y}, \bar{z})$ и $w_{i}(\bar{x}, \bar{y}, \bar{z})$ будем считать ограниченными функциями $\bar{y}$ и $\bar{z}$ при $\vec{y} \rightarrow \pm \infty$ и $\bar{z} \rightarrow \pm \infty$.

Подставляя ряды (5.5) и (5.6) в уравнения (5.1) и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях параметра $\varepsilon$, получим уравнения для определения неизвестных функций, входящих в выражения (5.5) и (5.6).
Выпишем только уравнения первого приближения
\[
\left.\begin{array}{rl}
\frac{\partial u_{1}}{\partial \bar{y}} \omega(\bar{x})+\frac{\partial u_{1}}{\partial \bar{z}} \lambda(\bar{x}) & =X(\bar{x}, \bar{y}, \bar{z}, 0)-A_{1}(\bar{x}), \\
\frac{\partial v_{1}}{\partial \bar{y}} \omega(\bar{x})+\frac{\partial v_{1}}{\partial \bar{z}} \lambda(x) & =Y(\bar{x}, \bar{y}, \bar{z}, 0)+ \\
& +\omega_{x} u_{1}(\bar{x}, \bar{y}, \bar{z})-B_{1}(\bar{x}), \\
\frac{\partial w_{1}}{\partial \bar{y}} \omega(\bar{x})+\frac{\partial w_{1}}{\partial \bar{z}} \lambda(\bar{x}) & =Z(\bar{x}, \bar{y}, \bar{z}, 0)+ \\
& +\lambda_{x} u_{1}(\bar{x}, \bar{y}, \bar{z})-C_{1}(\bar{x}) .
\end{array}\right\}
\]

Уравнения последующих приближений имеют такой же вид. Таким образом, вычисление каждого из членов рядов (5.5) сводится к интегрированию уравнения
\[
\frac{\partial F(x, y, z)}{\partial y} \omega(x)+\frac{\partial F(x, y, z)}{\partial z} \lambda(x)=U(x, y, z)-D(x),
\]

где $U$-функция периодическая по $y$ и $z$ с периодами $T_{y}=2 \pi / l$ и $T_{z}=\frac{2 \pi}{m}$ соответственно.

Рассмотрим первое из уравнений системы (5.7). Функция $X$ по условию является периодической по переменным $\bar{y}$ и $\bar{z}$. Следовательно, ее можно представить в виде двойного ряда Фурье
\[
X(\bar{x}, \bar{y}, \bar{z})=\sum_{k=-\infty}^{k=+\infty} \sum_{s=-\infty}^{s=+\infty} a_{k s}^{(x)}(\bar{x}) e^{i(k l \bar{y}+s m \bar{z})} .
\]

Для отыскания ограниченного решения уравнения (5.8) мы можем воспользоваться методом Фурье, схема которого изложена в предыдущем пункте данного параграфа. Для этого заметим, что функция $u_{1}(\bar{x}, \bar{y}, \bar{z})$, которая удовлетворяет этому уравнению, представима в виде
\[
u_{1}(\bar{x}, \bar{y}, \bar{z})=\sum_{k=-\infty}^{k=+\infty} \sum_{s=-\infty}^{s=+\infty} b_{k s}(x) \exp (i k l \bar{y}+i s m \bar{z})+c(\bar{x}) \bar{y}+d(\bar{x}) \bar{z} .
\]

Подставляя выражения для $X$ и $u_{1}$ в первое из уравнений (5.7) и сравнивая коэффициенты при экспонентах с одинаковыми показателями, получим
\[
\left.\begin{array}{l}
b_{k s}(\bar{x})=\frac{a_{k s}^{(x)}(\bar{x})}{i(k l \omega+s m \lambda)}, \\
c(\bar{x}) \omega(\bar{x})+d(\bar{x}) \lambda(\bar{x})=a_{00}(\bar{x})-A_{1}(\bar{x}) .
\end{array}\right\}
\]

Величина $b_{00}(x)$ остается неопределенной.
Қак показывает выражение (5.10), для ограниченности $u_{1}$ необходимо принять $c=0$ и $d=0$. Но это мы можем сделать лишь в том случае, когда
\[
A_{1}=a_{00}=\bar{X}(\bar{x}) .
\]

Здесь усреднение проводится по обеим быстрым переменным
\[
\bar{X}(\bar{x})=\frac{1}{T_{1} \cdot T_{2}} \int_{0}^{T_{1}} \int_{0}^{T_{2}} X(\bar{x}, \bar{y}, \bar{z}, 0) d \bar{y} d \bar{z} .
\]

Аналогично исследуются и другие уравнения системы (5.7). Итак, из рассмотрения первого приближения мы получаем следующие выражения:
\[
\left.\begin{array}{rl}
A_{1} & =\bar{X} \\
B_{1} & =\bar{Y}+\omega_{x} \overline{u_{1}(\bar{x}, \bar{y}, \bar{z})}, \\
C_{1} & =\bar{Z}+\lambda_{x} \overline{v_{1}(\bar{x}, y, z)}, \\
u_{1} & =\sum_{s, k
eq 0} \frac{a_{k s}^{(x)}(\bar{x})}{i(k l \omega+s m \lambda)} \exp i(k l \bar{y}+s m \bar{z})+a_{0}^{(x)}(\bar{x}), \\
v_{1} & =\sum_{s, k
eq 0} \frac{a_{k s}^{(y)}(\bar{x})}{i(k l \omega+s m \lambda)} \exp i(k l \bar{y}+s m \bar{z})+a_{0}^{(y)}(\bar{x}), \\
w_{1} & =\sum_{s, k
eq 0} \frac{a_{k s}^{(z)}(\bar{x})}{i(k l \omega+s m \lambda)} \exp i(k l \bar{y}+s m \bar{z})+a_{0}^{(z)}(\bar{x}) .
\end{array}\right\}
\]

Здесь $a_{k s}^{(y)}$ и $a_{k s}^{(z)}-$ коэффициенты разложений в ряд Фурье функций $Y-\omega_{x} u_{1}$ и $Z-\lambda_{x} u_{1}$ соответственно, $a_{0}^{(x)}, a_{0}^{(y)}$ и $a_{0}^{(z)}-$ произвольные функции. Эти функции могут быть выбраны по произволу, и их выбор не отражается на точности решения. Совершенно аналогично вычисляются последующие приближения.

Для того чтобы формулы (5.12), а также и вся процедура имели смысл, необходимо, чтобы ни один из знаменателей не обращался в нуль, т. е. чтобы не существовало целых чисел $k$ и $s$ таких, что
\[
k l \omega+\sin \lambda=0 .
\]

Этот случай условимся называть нерезонансным.
Итак, мы изложили схему расчета приближенного решения системы, имеющей две быстрые переменные в нерезонансном случае. Выпишем уравнения, определяющие первое приближение $x=\bar{x}$,
\[
\dot{\bar{x}}=\frac{\varepsilon}{T_{1} T_{2}} \int_{0}^{T_{1}} \int_{0}^{T_{2}} X(\bar{x}, \bar{y}, \bar{z}) d \bar{y} d \bar{z} .
\]

Уравнение (5.13) естественно назвать уравнением Ван-дер-Поля в случае двух быстрых переменных. Для его составления нам оказалось достаточным привес:и осреднение независимо по обеим переменным.

Определив (например, численно) решение нелинейного уравнения (5.13), мы можем найти неңзвестные $\bar{y}$ и $\bar{z}$, как и в простейшем случае одной быстрой переменной, при помощи квадратур.