Рассуждения, которые мы использовали для вывода формул (1.5), не являются строгими. В следующем параграфе мы установим погрешность этих формул. Далее будет показано, что прием, который мы использовали, является частным случаем общего метода построения асимптотических представлений решений дифференциальных уравнений, содержащих большой параметр.

Заметим еще, что формулы (1.5) могут быть получены методом усреднения. В самом деле, сделаем в (1.1) замену независимого переменного
\[
t=\varepsilon \tau, \quad \varepsilon=\frac{1}{\lambda} .
\]

Тогда уравнение (1.1) перейдет в следующее:
\[
\frac{d^{2} y}{d \tau^{2}}+\omega^{2}(\varepsilon \tau) y=0 .
\]

Қак мы знаем, из теории метода усреднения следует, что интеграл действия
\[
J=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \omega(\varepsilon \tau) Q_{\psi}^{2} d \psi
\]

будет адиабатическим инвариантом, т. е. его пронзводная в силу уравнений первого приближения равна нулю. В выражении (1.7) $Q$ и $Q_{\phi}$ означает функции
\[
Q=x \cos \psi, \quad Q_{\psi}=-x \sin \psi .
\]

Следовательно,
\[
J(x)=\frac{\omega(\varepsilon \tau)}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} x^{2} \sin ^{2} \psi d \psi=\text { const },
\]

откуда
\[
x=\frac{\text { const }}{\sqrt{\omega(e t)}} .
\]

Далее, уравнение первого приближения для фазы имеет вид
\[
\frac{d \psi}{d \tau}=\omega(\varepsilon \tau)
\]

из которого следует, что
\[
y(t)=x \cos \psi=\frac{C}{\sqrt{\omega(t)}} \cos \lambda \int_{0}^{t} \omega(t) d t .
\]

Примечание. Из этого примера тем не менее совсем не следует, что метод осреднения в каком-то смысле эквивалентен методам, которым будет посвящена эта глава. Метод усреднения не связан с линейностью задачи: так же, как и метод Пуанкаре, он позволяет исследовать некоторые задачи для нелинейных систем, близких к эталонным (решение которых нам известно и которые в свою очередь тоже могут быть нелинейными). В то же время метод усреднения может быть использован лишь для изучения процессов, близких к периодическим. Методы, которые рассматриваются в этой главе, относятся к линейным задачам, но зато никак не связаны с предположениями о периодичности решений.