Общее решение порождающего уравнения имеет вид
\[
z=x \cos y,
\]

где $y=\omega\left(t+t_{0}\right), x$ и $t_{0}$ – произвольные постоянные. Оно описывает некоторый колебательный процесс, обладающий частотой $\omega$. Число $x$ называется амплитудой, а функция $y(t)-$ фазой.

Естественно предположить, что в случае малых значений $\varepsilon$ решение уравнения (1.1) будет описывать также некоторый колебательный процесс вида (1.3). Однако следует ожидать, что амплитуда этого процесса $x$ уже не будет (в общем случае) постоянным числом, а будет изменяться, причем тем медленнее, чем меньше число в. Скорость изменения фазы также бу: дет изменя гься со временем. Таким образом, если в каждый момент времени исследуемый процесс носит колебательный характер, то его полностью определяют мгновенные значения амплитуды $x$ и фазы $y$. Поэтому в качестве переменных, описывающих процесс, можно принять амплитуду колебаний и фазу. Тогда одно из переменных – амплитуда – будет меняться медленно.

Итак, в задаче (1.1) будем в качестве новых переменных рассматривать функции $x(t)$ и $y(t)$. Для того чтобы определить эти переменные, к соотношению (1.3) надо добавить еще одно.

Используя идею вариации произвольных постоянных, потребуем; чтобы $x$ и $y$ были связаны, кроме (1.3), еще следующим соотношением:
\[
\dot{z}=-\omega x \sin y,
\]

которое всегда имеет место для постоянной амплитуды.
Составим теперь дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют функции $x(t)$ и $y(t)$. Дифференцируя (1.3) и приравнивая к (1.4), получим
\[
\dot{x} \cos y-x \dot{y} \sin y+\omega x \sin y=0 .
\]

Условие (1.5) – это условие совместимости формул (1.3) и (1.4). Дифференцируя далее (1.4) и подставив в (1.1), получим еще одно уравнение
\[
-\dot{x} \omega \sin y-\omega x \dot{y} \cos y+x \omega^{2} \cos y=\varepsilon \varphi(x \cos y,-\omega x \sin y) .
\]

Система (1.5)-(1.6) – это система двух уравнений первого порядка относительно двух некзвестных функций $x$ и $y$. Разрешая ее относительно производных $\dot{x}$ и $\dot{y}$, имеем
\[
\left.\begin{array}{l}
\dot{x}=-\frac{\varepsilon}{\omega} \varphi(x \cos y,-x \omega \sin y) \sin y \equiv \frac{\varepsilon}{\omega} \varphi_{1}(x, y), \\
\dot{y}=\omega-\frac{\varepsilon}{\omega x} \varphi(x \cos y,-x \omega \sin y) \cos y \equiv \omega-\frac{\varepsilon}{\omega x} \varphi_{2}(x, y) .
\end{array}\right\}
\]

Система двух уравнений (1.7) полностью эквивалентна уравнению (1.1).

Система (1.7) является частным случаем системы (*), приведенной во введении к данной главе. Роль медленного переменного играет амплитуда $x$, а роль быстрого переменного фаза $y$.

Заметим, что правые части системы (1.7) являются периодическими функциями фазы $y$; какова бы ни была функция $\varphi(x, y)$.