Вывод формул (1.5) и (1.5′) был осноеан на предположении о том, что статочно велико. Это уравнение относится к классу уравнений, содержащих малый параметр при старших производных. Отбрасывание членов, содержащих малый параметр, приводит к понижению порядка системы. Решение такой системы меньшего числа степеней свободы может, вообще говоря, не иметь никакого отношения к решению исходной задачи. Тем не менее, как мы увидим ниже, при известных условиях формулы (1.5) и (1.5′) действительно являются хорошей аппроксимацией точных решений уравнения (1.1).

Прежде чем переходить к доказательству этого факта, введем одно определение.

Функции $z(t, \lambda)$ будем называть $\lambda^{r}$-асимптотическим решением (или просто решением, асимптотическим по параметру $\lambda$ ), если для любого $t \in[0, T]$ искомое решение можно представить в виде
\[
y(t, \lambda)=z(t, \lambda)+\frac{\psi(t, \lambda)}{\lambda^{r}},
\]

где $\psi(t, \lambda)$ ограничена при $\lambda \rightarrow \infty$.
Цель данного параграфа будет состоять в доказательстве следующего утверждения.

Теорема. Пусть функция $\omega^{2}(t)$ дважды дифференцируема на отрезке $[0, T]$ и существует такая постоянная $\alpha>0$, что для любого $t \in[0, t]$
\[
\omega(t) \geqslant \alpha \text {. }
\]

Тогда для любого $t \in[0, T]$ функция (1.5) является $\lambda$ асимптотическим решением уравнения (1.1).

Доказательство этой теоремы опирается на два вспомогательных утверждения.

Лемма I. Пусть и и – положительные функции и $C$ – положительная постоянная. Если для любого $t \geqslant 0$ имеет место неравенство
\[
u \leqslant C+\int_{0}^{t} u v d t
\]

то для любого $t \geqslant 0$
\[
u \leqslant C \exp \left(\int_{0}^{t} v d t\right) .
\]

Доказательство этой леммы приведено в § 4 главы I.
Лемма II. Если $\omega \geqslant \alpha>0$ для любых $t \in[0, T]$, то для любого $\lambda \geqslant \beta>0$ можно указать такую постоянную $D>0$, зависящую только от начальных условий и чисел $\alpha, \beta$ и т, что при любом $t \in[0, T]$ решение задачи Коши для уравнения
\[
\ddot{y}+\lambda^{2} \omega^{2}(t) y=0
\]

удовлетворяет неравенству
\[
|y| \leqslant D .
\]

Для доказательства умножим (1.11) на $\dot{y}$ и проинтегрируем в пределах от 0 до $t$, в результате получим
\[
\frac{\dot{y}^{2}}{2}+\lambda^{2} \omega^{2} \frac{y^{2}}{2}=\int_{c}^{t} y^{2} \omega \dot{\omega} d t+\frac{d}{2} \lambda^{2},
\]

где
\[
d=\frac{\dot{y}_{0}^{2}+\lambda^{2} \omega^{2}(0) y_{0}^{2}}{\dot{\lambda}^{2}}>0 .
\]

Заменим равенство (1.12) неравенством
\[
\lambda^{2} \omega^{2} y^{2} \leqslant \alpha^{2} \lambda^{2} C+\int_{0}^{t} 2 y^{2} \omega|\dot{\omega}| d t,
\]

где
\[
C=\frac{\dot{y}_{0}^{2}}{\alpha^{2} \beta^{2}}+\frac{\omega^{2}(0) y_{0}^{2}}{\alpha^{2}},
\]

или
\[
y^{2} \leqslant C+\int_{0}^{t} y^{2}-\frac{2 \omega|\dot{\omega}|}{\alpha^{2} \beta^{2}} d t .
\]

Неравенство (1.13) удовлетворяет всем условиям леммы I, где $u=y^{2}, v=\frac{2 \omega|\dot{\omega}|}{\alpha^{2} \beta^{2}}$. Следовательно, мы имеем оценку
\[
y^{2} \leqslant C \int_{0}^{T} \frac{2 \omega|\dot{\omega}|}{\alpha^{2} \beta^{2}} d t=D .
\]

Лемма доказана.
Перейдем теперь к доказательству теоремы. Рассмотрим функции (1.4)
\[
y_{1,2}^{*}=\frac{C_{1,2}}{V \omega} \exp \left\{ \pm i \lambda \int_{0}^{t} \omega d t\right\}
\]

и составим дифференциальное уравнение, которому она удовлетворяет. Вычисляя вторую производную, находим
\[
\frac{d^{2} y_{i}^{*}}{d t^{2}}=y_{i}^{i}\left[\frac{3}{4} \omega^{-2} \dot{\omega}^{2}-\frac{1}{2} \omega \ddot{\omega}-\lambda^{2} \omega^{2}\right] \quad(i=1,2) .
\]

Следовательно, функции $y_{i}^{*}$ удовлетворяют уравнению
\[
\frac{d^{2} y_{i}^{*}}{d t^{2}}+\left(\lambda^{2} \omega^{2}+\varphi(t)\right) y_{i}^{*}=0,
\]

где
\[
\varphi(t)=\frac{1}{2} \omega \ddot{\omega}-\frac{3}{4} \frac{\dot{\omega}^{2}}{\omega^{2}} .
\]

Таким образом, уравнению (1.15) удовлетворяют обе функции $y_{1}^{*}$ и $y_{2}^{*}$. Значит, этому уравнению удовлетворяет также их произвольная линейная комбинация
\[
y^{*}=C_{1} y_{1}^{*}+C_{2} y_{2}^{*} .
\]

Пусть теперь $y$ – то частное решение уравнения (1.11), которое удовлетворяет тем же начальным условиям, что и $y^{*}$. Обозначим
\[
v=y-y^{*}
\]

и перепишем уравнение (1.11) так:
\[
\ddot{y}+\left(\lambda^{2} \omega^{2}+\varphi\right) y=\varphi y .
\]

Вычитая из уравнения (1.17) уравнение (1.15) и используя (1.16), получим уравнение, которому удовлетворяет функция $v$ :
\[
\ddot{v}+\left(\lambda^{2} \omega^{2}+\varphi\right) v=\varphi(t) y .
\]

Функция $v$ по построению удовлетворяет нулевым начальным условиям
\[
v(0)=\dot{v}(0)=0 .
\]

Уравнение (1.18) можно рассматривать как неоднородное уравнение относительно $v$. Частные решения однородного уравнения (при $\varphi у \equiv 0$ ) нам известны – это функции $y_{1}^{*}$ и $y_{2}^{*}$. Следовательно, функцию $v$ мы можем выразить при помощи формулы Лагранжа
\[
v(t)=\int_{0}^{t} G(t, \tau) \varphi(\tau) y(\tau) d \tau,
\]

где $G(t, \tau)$ – известная нам функция Грина
\[
G(t, \tau)=\frac{1}{\Delta}\left\{y_{2}^{*}(t) y_{2}(\tau)-y_{1}^{*}(\tau) y_{2}^{*}(t)\right\},
\]
$\Delta$ – определитель Вронского для функций $y_{1}^{*}$ и $y_{2}^{*}$ :
\[
\Delta=\left|\begin{array}{cc}
y_{1}^{*} & y_{2}^{*} \\
\frac{d y_{1}^{*}}{d t} & \frac{d y_{2}^{*}}{d t}
\end{array}\right| .
\]

Дифференцируя (1.5), убеждаемся, что
\[
\dot{y}_{i}^{*}=O(\lambda) .
\]

Следовательно, имеем оценку
\[
\Delta=O(\lambda),
\]

откуда сразу следует и оценка для функции Грина
\[
G=O\left(\lambda^{-1}\right) .
\]

В самом деле, формулы (1.4) показывают, что функции $y_{i}^{*}$ ограничены при $\lambda \rightarrow \infty$.

Рассмотрим теперь выражение (1.20). Функция $\varphi(t)$ ограничена в силу условий, наложенных на $\omega(t)$. Для функции $y(t)$ априорная оценка дана леммой II. Следовательно, для любого $t \in[0, T]$

Итак,
\[
v(t)=O\left(\frac{1}{\lambda}\right) .
\]
\[
y=y^{*}+O\left(\frac{1}{\lambda}\right)
\]

что и требовалось доказать.
Формула (1.21) дает оценку точности приближенного решения, построенного при помощи формул (1.5). Позднее мы увидим, что это решение может быгь уточнено, а сам метод определения приближенных решения может быть видоизменен таким образом, что он окажется пригодным для построения асимптотических решений систем произвольного порядка.