Первое из уравнений системы (1.7) показывает, что переменное $x$ меняется медленно, так как ее производная имеет порядок в. Следовательно, за одно колебание (за время, в течение которого фаза $y$ изменится на величину, равную 2л) амплитуда и характер колебаний изменятся мало. Поэтому можно ожидать, что мы не сделаем большой ошибки, если заменим правые части системы (1.7) их средними значениями за период, т. е. вместо системы (1.7) станем рас. сматривать систему
\[
\left.\begin{array}{l}
\dot{x}=-\frac{\varepsilon}{\omega} \bar{\varphi}_{1}(x), \\
\dot{y}=\omega-\frac{\varepsilon}{\omega x} \bar{\varphi}_{2}(x),
\end{array}\right\}
\]

где
\[
\left.\begin{array}{l}
\bar{\varphi}_{1}(x)=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \varphi(x \cos y,-x \omega \sin y) \sin y d y, \\
\bar{\varphi}_{2}(x)=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \varphi(x \cos y,-x \omega \sin y) \cos y d y .
\end{array}\right\}
\]

Уравнения (1.8) будем называть укороченными уравнениями или уравнениями Ван-дер-Поля. Они значительно проще исходной системы (1.7), поскольку первое уравнение может быть проинтегрировано независимо от второго. В системе (1.8) медленные и быстрые движения разделены. Интегрируя первое из уравнений этой системы, мы находим закон изменения амплитуды. Очень часто в прикладных задачах бывает достаточно найти только зависимость амплитуды от времени. В рассматриваемой теории для этого достаточно найти решение уравнения первого порядка (в общем случае нелинейного).

Определение фазы сводится к квадратурам. Наибольший интерес обычно представляет не сама фаза, а скорость ее изменения в зависимости от амплитуды. Ответ на этот вопрос дает непосредственно второе уравнение системы (1.8).

Итак, метод Ван-дер-Поля решения уравнения (1.1) состоит в переходе от переменной $z$ к переменным $x$ и $y$ (которые мы будем называть переменными Ван-дер-Поля) и к замене точных уравнений (1.7) укороченной системой (1.8).