В одном из параграфов мы рассматривали асимптотику уравнения
\[
\ddot{y}+2 \lambda a \dot{y}+\lambda^{2} b y=0,
\]

предполагая, что на всем интервале времени
\[
b=a^{2} .
\]

Если условие (7.30) выполнено, то характеристическое уравнение будет иметь кратные корни, а элементарные делители не будут простыми. Их кратность равна двум.

Предположим теперь, что условие (7.30) выполняется только в некоторой точке $t_{0}$. Не ограничивая общности, мы можем принять, что такой точкой является точка $t=0$. Для упрощения выкладок предположим, что
\[
a=\text { const. }
\]

В такой постановке уравнение (7.29) описывает колебание маятника в переменном гравитационном поле, но с постоянным демпфированием.
Сделаем сначала замену
\[
y=z(t, \lambda) \exp \{-\lambda a t\}
\]

тогда для $z(t, \lambda)$ мы будем иметь следующее уравнение:
\[
\ddot{z}+\lambda^{2}\left(b-a^{2}\right) z=0 .
\]

Предположим теперь, что
\[
b^{2}=a^{2}+t q(t),
\]

где $q(0)
eq 0$. Тогда уравнение (7.31) можно рассматривать как относящееся к случаю А) предыдущего пункта и мы сразу можем выписать окончательный результат
\[
y_{1,2}=C_{1,2} \exp \{-a t\} \frac{\sqrt[6]{\int_{0}^{t} \sqrt{b-a^{2}} d t}}{\sqrt[4]{b-a^{2}}} \Phi_{1,2}\left\{\lambda^{2 / 4}\left(\frac{3}{2} \int \sqrt{b-a^{2}} d t\right)^{2 / 3}\right\} .
\]

Мы рассмотрели несколько примеров, которые показывают, что эффективное построение асимптотических представлений требует существования подробных таблиц решений эталонных уравнений.

Заметим, что асимптотика рассматриваемого вида является равномерными асимптотиками на всем рассматриваемом интервале времени. Поэтому их называют также иногда «сквозными» асимптотиками, позволяющими построить асимптотические представления на всем интервале, включая окрестность точки возврата.