Рассмотрим более общий случай, когда частоты $\omega$ и $\lambda$ зависят от $x$, т. е. $\omega=\omega(x)$, $\lambda=\lambda(x)$. Предположим сначала, что периоды по обеим быстрым переменным совпадают. Тогда условие главного резонанса будет иметь вид
\[
\lambda(x)=\omega(x)+\varepsilon h(x) .
\]
Обозначим через $x^{*}$ корень этого уравнения при $h=0$ и ограничимся рассмотрением только той области изменения амплитуды, которая находится в окрестности точки $x^{*}$. Другими словами, разность $x-x^{*}$ условимся считать малой величиной первого порядка.
Рассмотрим систему
\[
\left.\begin{array}{rl}
\dot{x} & =\varepsilon X(x, y, z), \\
\dot{y} & =\omega(x)+\varepsilon Y(x, y, z), \\
\dot{z} & =\lambda(x)+\varepsilon Z(x, y, z)
\end{array}\right\}
\]
и снова сделаем замену $y=z-\theta$. Тогда, полагая
\[
\lambda(x)-\omega(x)=\varepsilon h(x),
\]
мы придем к системе уравнений вида
\[
\left.\begin{array}{l}
\dot{x}=\varepsilon X^{*}(x, \theta, z, \\
\dot{\theta}=\varepsilon \theta^{*}(x, \theta, z), \\
\dot{z}=\lambda(x)+\varepsilon Z^{*}(x, \theta, z),
\end{array}\right\}
\]
где смысл обозначений $X, \vartheta^{*}$ и $Z^{*}$ очевиден. Например,
\[
\theta^{*}=Z(x, z-\theta, z)-Y(x, z-\theta, z)+h(x) .
\]
Формально система (5.22) совершенно аналогична системе (5.18), и для построения асимптотического решения нам достаточно провести усреднение по быстрому переменному $z$. Однако по существу эти задачи существенно отличаются друг от друга. Представим себе, что мы решаем задачу Коши для системы (5.22) и пусть в начальный момент имела место резонансная ситуация, т. е. пусть при $t=0$ разность $\lambda(x(0))-\omega(x(0))$ была величиной малой. Однако с течением времени величина этой разности может как угодно измениться, и тогда все рассуждения потеряют смысл. Тот факт, что все исследование проводится только в $\varepsilon$-окрестности точки $x^{*}$, позволяет сделать некоторые упрощения. Предположим, что мы ограничиваемся рассмотрением уравнений первого приближения. Тогда
\[
\left.\begin{array}{rl}
\dot{x} & =\varepsilon \bar{X}^{*}(x, \theta), \\
\dot{\theta} & =\varepsilon \bar{\vartheta}^{*}(x, \theta)=\varepsilon\left\{\bar{Z}^{*}(x, \theta)-\bar{Y}^{*}(x, \theta)\right\}+\varepsilon h(x), \\
\dot{z} & =\lambda(x)+\varepsilon \bar{Z}^{*}(x, \theta) .
\end{array}\right\}
\]
Усреднение в системе (5.23) произведено по переменной $z$. Мы не изменим точности приближения, если в величинах порядка $O(\varepsilon)$ допустим ошибку порядка $O(\varepsilon)$. Поэтому в рамках принятой точности мы можем положить $\varepsilon h(x)=\left(x-x^{*}\right)\left(\lambda_{x}\left(x^{*}\right)-\omega_{x}\left(x^{*}\right)\right)$ и заменить систему (5.23) такой:
\[
\left.\begin{array}{l}
\dot{x}=\varepsilon \bar{X}^{*}\left(x^{*}, \theta\right), \\
\dot{\theta}=\left(x-x^{*}\right)\left(\lambda_{x}\left(x^{*}\right)-\omega_{x}\left(x^{*}\right)\right)+\varepsilon\left\{\bar{Z}^{*}\left(x^{*}, \theta\right)-Y^{*}\left(x^{*}, \theta\right)\right\}, \\
\dot{z}=\lambda(x)+\varepsilon \bar{Z}^{*}\left(x^{*}, \theta\right) .
\end{array}\right\}
\]
Ниже мы еще не один раз будем возвращаться к системе (5.24) и убедимся в ее преимуществах перед системой (5.23).
В заключение остановимся на общем случае главного резонанса, когда периоды $T_{z}$ и $T_{y}$ не равны друг другу
\[
T_{y}=\frac{2 \pi}{l}, \quad T_{z}=\frac{2 \pi}{m}, \quad l
eq m .
\]
В этом случае условие главного резонанса имеет вид
\[
\frac{l \omega(x)}{m}+\frac{\varepsilon h}{n}=\lambda(x) .
\]
Обозначим снова через $x^{*}$ корень уравнения
\[
\frac{m}{l} \lambda\left(x^{*}\right)-\omega\left(x^{*}\right)=0
\]
и вместо переменной $y$ введем сдвиг фаз $\theta$. Замена переменных теперь будет иметь вид
\[
\theta=\frac{m}{l} z-y .
\]
Следовательно, зависимость $\theta(t)$ будет описываться следующим уравнением:
\[
\begin{array}{l}
\theta=\varepsilon \frac{h}{m}+\varepsilon\left\{Z\left(x, \frac{m}{l} z-\theta, z\right) \frac{m}{l}-Y\left(x, \frac{m}{l} z-\theta, z\right)\right\}= \\
=\left(x-x^{*}\right)\left(\frac{m}{l} \lambda_{x}\left(x^{*}\right)-\omega\left(x^{*}\right)\right)+\varepsilon\left\{Z\left(x, \frac{m}{l} z-\theta, z\right) \frac{m}{l}-\right. \\
\left.-Y\left(x, \frac{m}{l} z-\theta, z\right)\right\}+O\left(\varepsilon^{2}\right)=\varepsilon \vartheta^{*}(x, z, \theta) .
\end{array}
\]
После замены (5.25) переменная $z$ будет входить в правые части уравнений (5.21) самостоятельно и в комбинации ( $\mathrm{m} / \mathrm{l}) z-\theta$. Правые части будут периодическими функциями $z$ периода $2 \pi / \mathrm{m}$ и периодическими функциями величины $(\mathrm{m} / \mathrm{l}) z$ периода $2 \pi / l$. Следовательно, период по аргументу $z$, входящему в комбинацию $(m / l) z-\theta$, также будет равен $2 \pi / m$. Таким образом, функции $X^{*}, \vartheta^{*}$ и $Z^{*}$ будут иметь период по переменной $z$, равный $2 \pi / m$, и при переходе к укороченной системе мы должны усреднять по этому периоду.
